conic-toan 0.3.3 – Typst Universe

Draw math figures, graphs and variation tables — and build exam papers.
A dependency-free Typst library for Vietnamese high-school mathematics.

Solid geometry

English overview

conic-toan is a pure Typst library — no external packages, no CeTZ — for authoring Vietnamese high-school mathematics material. Everything below is drawn by the library itself and compiles offline.

What it does

Plane and solid geometry. Triangles with their notable points and circles (incircle, circumcircle, orthocentre, excircles), pyramids, prisms, frustums, cones, cylinders and spheres, with hidden edges dashed automatically.
Function graphs. Quadratic through rational functions, exponentials, logarithms, trigonometry, conics, tangent lines, areas between curves and feasible regions of linear systems. Labels carry exact values — a cubic’s extremum prints as a surd, not as 10.48.
Variation tables from coefficients. bbt-bac-ba(1, 0, -3, 1) produces the full table for y = x³ − 3x + 1, covering every discriminant case.
Full worked solutions. khao-sat-ve-do-thi-ham-bac-ba(1, 0, -3, 1) emits the domain, derivative, limits, monotonicity, extrema, variation table and graph — the entire textbook analysis from five numbers.
Statistics for the 2018 curriculum. Frequency tables, histograms, ogives, bar charts, box plots and pie charts, plus fourteen summary statistics for raw and grouped data.
Solids of revolution. A plane region, the rotation arrow, the resulting solid and its volume integral, side by side.
One source, three PDFs. The same question file renders as a printable exam, a solution key, or 16:9 lecture slides. Eight question types, automatic answer keys and answer tables.

Function and parameter names are in unaccented Vietnamese (doan, duong-tron, bbt-bac-ba), and the documentation below is in Vietnamese.

Quick start

#import "@preview/conic-toan:0.3.3": *

#do-thi-bac-ba(1, 0, -3, 1)          // graph with exact extrema
#bbt-bac-ba(1, 0, -3, 1)             // matching variation table
#hinh-chop-luc-giac-deu()            // hexagonal pyramid

One question source, rendered as lecture slides and as an exam paper:

Lecture slide
Exam page

Licensed under MIT. Full documentation in Vietnamese follows.

Thuần Typst, không phụ thuộc package nào — biên dịch offline được ngay.

Cài đặt

#import "@preview/conic-toan:0.3.3": *

Không cần tải gì thêm — Typst tự tải gói về khi biên dịch lần đầu. Mã nguồn và các file mẫu: https://github.com/Thutran1891/conic-toan

Yêu cầu & biên dịch

Typst 0.13 trở lên (cài trên Windows: winget install --id Typst.Typst).
Biên dịch: typst compile main.typ — Xem trực tiếp khi soạn: typst watch main.typ.
Khuyến nghị dùng VS Code + extension Tinymist Typst để xem trước tức thì.

Cấu trúc

baigiang.typ            ← import MỘT file này là dùng được tất cả
main.typ                ← bài giảng demo trình diễn toàn bộ tính năng
lib/
  slide.typ             ← engine trình chiếu 16:9
  ve.typ                ← engine vẽ hình lõi (hệ toạ độ, điểm, đoạn, cung, góc…)
  hinh-phang.typ        ← hình học phẳng
  hinh-khong-gian.typ   ← hình học không gian
  do-thi.typ            ← đồ thị hàm số
  oxyz-toan.typ         ← TÍNH TOÁN trong Oxyz (vectơ, mặt phẳng, đường, mặt cầu)
  bang.typ              ← bảng biến thiên, bảng xét dấu

Tạo bài giảng mới: copy main.typ thành bai-1.typ rồi sửa nội dung.

1. Trình chiếu

#import "@preview/conic-toan:0.3.3": *
#show math.equation.where(block: false): it => math.display(it)

#show: bai-giang.with(
  tieu-de: [CHƯƠNG I. KHẢO SÁT HÀM SỐ],
  tieu-de-ngan: [Chương I. Khảo sát hàm số],  // tên bài rút gọn — LUÔN hiện
                    // trên dải đầu trang mọi slide (none => dùng nguyên tieu-de)
  phu-de: [Tiết 1: Sự đồng biến, nghịch biến],
  gv: "Kim Thu",
  ngay: "12/07/2026",
  lop: "Lớp 12A1",             // (tuỳ chọn) hiện trên TRANG BÌA
  mon: "Giải tích",            // (tuỳ chọn) môn/chương hiện trên TRANG BÌA
  logo: image("logo.png"),     // (tuỳ chọn) logo trường — PHẢI bọc image(...)
                               //   Đặt ảnh CÙNG thư mục file .typ này. KHÔNG
                               //   truyền chuỗi "logo.png" (image() chạy trong
                               //   package sẽ tìm ảnh cạnh package -> không thấy).
                               //   none = không có logo.
  kieu-bia: 1,                 // KIỂU TRANG BÌA — 1..5 hoặc tên:
                               //   1 "toi-gian"      Tối giản & Thanh lịch
                               //   2 "tre-trung"     Trẻ trung & Sáng tạo
                               //   3 "co-dien"       Chuẩn mực Học thuật Cổ điển
                               //   4 "chuyen-nghiep" Chuyên nghiệp & Khoa học
                               //   5 "ky-thuat"      Tiêu chuẩn Tài liệu Kỹ thuật
                               // Mỗi kiểu có TÔNG MÀU riêng; đặt mau-chinh/
                               // mau-nhan để GHI ĐÈ tông đó (đồng bộ cả bài).
  mau-chinh: rgb("#0f4c81"),   // đổi màu chủ đạo tuỳ ý (auto = theo kieu-bia)
  nen: "kem",                  // nền slide: "trang" (mặc định) | "kem"
                               // | "xanh-nhat" | "luc-nhat" | "xam"
                               // hoặc màu TUỲ Ý, ví dụ các tông sáng đẹp:
                               //   rgb("#fdf3e7")  cam nhạt
                               //   rgb("#fdf0f0")  hồng nhạt
                               //   rgb("#f6f0fb")  tím nhạt
                               //   rgb("#eefaf6")  bạc hà
                               //   rgb("#fbfbe8")  vàng chanh nhạt
  ti-le-chu: 1.0,              // HỆ SỐ PHÓNG CỠ CHỮ THÂN NỘI DUNG (toàn file):
                               // 1.0 giữ nguyên; 1.1 to hơn 10%; 0.9 nhỏ đi 10%.
                               // Chỉ co giãn thân + khung (định nghĩa/ví dụ/lời
                               // giải…); thanh tiêu đề, header, footer giữ nguyên.
  gian-dong: 1.0,              // HỆ SỐ GIÃN DÒNG — khoảng cách giữa các dòng
                               // (toàn file): 1.0 = mốc mặc định (trình chiếu
                               // 0.62em · A4 bài giảng 0.6em · A4 đề thi 0.65em);
                               // 1.25 giãn thêm 25%; 0.9 thu lại 10%. TĂNG khi
                               // phân số / căn thức / chỉ số nhiều tầng làm hai
                               // dòng liền nhau dính (thậm chí chồng) vào nhau.
  mau-cong-thuc: auto,         // MÀU MỌI CÔNG THỨC trong $...$ (toàn file):
                               // auto (mặc định) = thừa kế màu chữ — thân đen,
                               // tiêu đề/bìa trắng. Đặt màu, vd rgb("#0f4c81"),
                               // để nhuộm TẤT CẢ công thức theo màu đó.
)

#muc[1. Định nghĩa]                     // slide chuyển phần
#slide(tieu-de: [Khái niệm])[ ... ]     // slide thường
#trang-cam-on()

Khung nội dung (tự đánh số ví dụ/luyện tập): #dinh-nghia[...], #dinh-ly[...], #tinh-chat[...], #vi-du[...], #loi-giai[...], #chu-y[...], #ghi-nho[...], #nhan-xet[...], #luyen-tap[...].

Bố cục: #chia-cot(trai, phai) hoặc #chia-cot(a, b, c, ti-le: (2fr, 1fr, 1fr)). Các bước giải: #buoc([Bước 1...], [Bước 2...]).

2. Vẽ hình tự do (ve.typ)

Mọi hình vẽ nằm trong #hinh(...) với hệ toạ độ toán học (y hướng lên). Để h: auto thì hai trục cùng tỉ lệ (nên giữ khi vẽ hình hình học).

#hinh(w: 7cm, xmin: -1, xmax: 6, ymin: -1, ymax: 5, ctx => {
  doan(ctx, (0, 0), (5, 0))                       // đoạn thẳng
  doan(ctx, (1, 1), (4, 3), dut: true, mau: red)  // nét đứt
  duong-gap-khuc(ctx, ((0,0), (1,2), (3,1), (5,4)), mau: blue, dut: true) // gấp khúc A-B-C-D, đứt thật từng đoạn
  diem(ctx, (2, 3), ten: $M$, huong: "tren")      // điểm + nhãn
  mui-ten(ctx, (0, 0), (3, 2))                    // mũi tên
  mui-ten-2-dau(ctx, (0, -0.6), (5, -0.6),        // mũi tên HAI ĐẦU: ghi số đo
      ten: [5 cm], vach: true)                    // chữ nằm giữa thân
  vecto(ctx, (0, 0), (2, 3), ten: $arrow(u)$)     // vectơ có tên
  vecto(ctx, (0, 0), (2, 3), dut: true)           // vectơ nét đứt (cạnh khuất), đầu mũi tên vẫn liền
  duong-tron(ctx, (3, 2), 1.5)                    // đường tròn
  cung(ctx, (0, 0), 2, tu: 0deg, den: 90deg)      // cung tròn
  goc(ctx, (0,0), (5,0), (3,4), ten: $alpha$)     // đánh dấu góc (cung + nhãn)
  goc(ctx, (0,0), (5,0), (3,4), so-do: true,      // tự ghi số đo góc (vd 60°)
      to: rgb(255, 170, 0, 70))                   // + tô màu hình quạt
  goc(ctx, (0,0), (5,0), (3,4), vach: 2)          // 2 vạch cắt ngang cung
  goc-vuong(ctx, (0,0), (5,0), (0,4))             // ký hiệu vuông góc
  ve-goc(ctx, (5,0), (0,0), (3,4), ten: $alpha$)  // = goc, nhưng ĐỈNH ở GIỮA (lối TikZ)
  ve-goc-vuong(ctx, (5,0), (0,0), (0,4))          // = goc-vuong, ĐỈNH ở GIỮA (lối TikZ)
  danh-dau(ctx, (0,0), (5,0), so: 2)              // vạch "bằng nhau"
  ve-ham(ctx, x => x*x/4, mau: blue)              // đồ thị hàm bất kỳ
  to-vung(ctx, x => x*x/4, 0, 3)                  // tô miền dưới đồ thị
  nhan(ctx, (3, 4), [chú thích], huong: "phai")
})

Mũi tên hai đầu — ghi số đo (mui-ten-2-dau)

Kiểu đường ghi kích thước trong bản vẽ: hai đầu đều có mũi tên, số đo đặt ở GIỮA thân (thân tự cắt chừa chỗ cho chữ, có nền lót nên nét không cắt qua chữ).

mui-ten-2-dau(A, B, ten: [5 cm])                  // chữ giữa thân
mui-ten-2-dau(A, B, ten: $2a$, vach: true)        // + vạch chặn hai đầu
mui-ten-2-dau(A, B, ten: $sqrt(29)$, trong: false)  // chữ đặt NGOÀI, trên đoạn
mui-ten-2-dau(A, B, ten: [dài], trong: false, ten-quay: true)  // chữ nằm dọc
mui-ten-2-dau(A, B, ten: $h$, le: 3pt)            // lùi hai đầu, hở khỏi vật đo

Đoạn ngắn không đủ chỗ chứa chữ thì hàm TỰ đưa chữ ra ngoài thân — không bao giờ đè lên mũi tên. nen: none để bỏ nền lót, dem: nới chỗ hở quanh chữ.

Nhãn có phân số / căn không còn bị nét vẽ cắt ngang

Typst tính HỤT khung của công thức trong dòng: measure($1/2$) chỉ cho chiều cao MỘT DÒNG CHỮ trong khi phân số vẽ ra cao gấp đôi và tràn cả trên lẫn dưới. nhan (và mọi hàm gọi qua nó: nhãn đoạn, nhãn góc, nhãn sơ đồ cây, nhãn biểu đồ…) nay đo thêm theo BIÊN NÉT CHỮ rồi bù đúng phần tràn đó. Chữ thường không tràn nên bù 0 — bố cục các hình cũ giữ nguyên.

Vị trí ĐỈNH góc — hai lối viết. goc/goc-vuong đặt đỉnh làm đối số ĐẦU: goc-vuong(O, A, B) là góc vuông tại O. TikZ thì viết đỉnh ở GIỮA (pic angle = A--O--B), nên có thêm ve-goc(A, O, B) và ve-goc-vuong(A, O, B) cho ai quen lối đó — cùng vẽ góc tại O, cùng bộ tuỳ chọn (r, ten, so-do, so-cung, vach, to, mau, day, cach-nhan), dùng lẫn nhau trong một hình cũng được. Viết nhầm thứ tự sẽ KHÔNG báo lỗi, chỉ vẽ ký hiệu sai đỉnh — nên chọn một lối rồi giữ nguyên.

Đường xoắn ốc & góc lượng giác (07/2026)

xoan-oc vẽ xoắn ốc Archimedes (bán kính tăng đều theo góc), quét được nhiều vòng; goc-luong-giac là lối gọi tắt cho hình góc lượng giác $(OA, OM)$ của SGK 11 — tự tính chiều quay và số vòng.

#hinh(xmin: -3, xmax: 3, ymin: -3, ymax: 3, w: 6cm, ctx => {
  let O = (0, 0)
  let A = (2.2, 0)
  let M = toa-cuc(O, 2.2, -70)
  cac-doan((O, A), (O, M))
  cac-diem((O, $O$, "above-left"), (A, $A$, "above"), (M, $M$, "right"))
  goc-luong-giac(O, A, M, chieu: "am", vong: 1)   // (OA, OM) = -430°
})

goc-luong-giac(O, A, M, ...)

Tham số	Ý nghĩa
`chieu`	`"duong"` (ngược kim đồng hồ, mặc định) · `"am"` (cùng kim đồng hồ)
`vong`	số vòng quay THÊM trước khi dừng ở tia OM (0, 1, 2, …)
`so-do`	`true` = tự ghi số đo (vd −430°) cạnh mũi tên; `ten:` được ưu tiên
`r`, `buoc`, `r-cuoi`	bán kính đầu, khoảng cách 2 vòng, bán kính cuối (`auto` = tính theo chiều dài tia)
`mau`, `day`, `dut`, `kich`	màu (mặc định`blue`), độ dày, nét đứt, cỡ đầu mũi tên
`huong`, `cach`, `mau-ten`	vị trí nhãn số đo quanh điểm cuối

xoan-oc(O, tu: 0deg, den: 1080deg, r: 0.1, buoc: 0.85, mau: blue) — dùng khi cần xoắn ốc thuần: den > tu quay ngược kim đồng hồ, den < tu quay cùng kim đồng hồ, r-cuoi: đặt bán kính cuối (nhỏ hơn r thì xoắn vào trong), mui-ten: nhận true/"cuoi"/"dau"/"ca-hai"/false, ten: ghi nhãn ở điểm cuối.

`cac-doan` — vẽ nhiều nét trong MỘT lệnh (kiểu `\draw` của TikZ) (07/2026)

cac-doan(A, B)                    // một đoạn
cac-doan(A, B, C, D)              // các điểm liền nhau -> gấp khúc A-B-C-D
cac-doan((A, B), (C, D))          // mỗi MẢNG điểm là một nét rời
cac-doan(
  duong(B, C, D, S, dong: true),               // nét khép kín
  duong(A, B, dut: true), duong(A, D, dut: true),
  duong(B, D, mau: red, dut: true, ten: $d$, tai: 0.35),
  day: 1.1pt,                                  // kiểu CHUNG cho mọi nét
)

duong(...) khai báo một nét có kiểu riêng (đè lên kiểu chung). Tuỳ chọn dùng được ở cả duong(...) lẫn cac-doan(...): mau, day, dut, dong (khép kín), to (tô màu — tự khép kín), mui-ten (đầu mũi tên ở điểm cuối), và bộ nhãn ten/tai/huong/cach/ten-quay/mau-ten (nhãn đặt tại tỉ lệ tai tính theo TỔNG chiều dài nét).

`duong-luon` — đường cong uốn lượn (kiểu `.. controls ..` của TikZ) (07/2026)

duong-luon(A, B, C, D)                            // trơn TỰ ĐỘNG qua các điểm neo
duong-luon(A, dieu-khien(c1, c2), B)              // Bézier bậc ba: 2 điểm điều khiển
duong-luon(
  (0,0), dieu-khien((1,2),(2,2)),
  (3,0), dieu-khien((4,-2),(5,-2)), (6,0),        // nhiều đoạn nối tiếp (sóng)
  mau: teal, day: 1.4pt, mui-ten: true,
)
duong-luon(A, B, C, dong: true, to: blue.lighten(85%))   // khép kín + tô

Liệt kê các điểm neo; xen dieu-khien(c1, c2) giữa hai neo để đặt điểm điều khiển như .. controls (c1) and (c2) .. của TikZ. Đoạn KHÔNG có dieu-khien thì tự làm mềm bằng Catmull-Rom (đường trơn đi qua đúng các neo — khỏi tính tay). dieu-khien(c1) = một điểm điều khiển (c₂ = c₁); để auto một thành phần thì thành phần đó tự tính. Tuỳ chọn: mau, day, dut, dong (khép kín), to (tô), mui-ten, kich, bộ nhãn ten/tai/huong/cach/ten-quay/mau-ten (đặt theo tỉ lệ độ dài, như cac-doan), n (số mẫu mỗi đoạn — tăng cho mượt). diem-luon(...) TRẢ VỀ mảng điểm mẫu (không vẽ) để tái dùng — ví dụ đưa vào nhan-cong cho chữ bám đúng đường.

`nhan-cong` — nhãn chữ bám theo một đường cong (07/2026)

// chữ chạy dọc nửa trên đường tròn lượng giác
nhan-cong(diem-cung((0,0), 2.2, 2.2, 160deg, 20deg),
          "DUONG TRON LUONG GIAC", co: 13pt, mau: blue, can: "giua", tu: 0.5)
// chữ bám sóng Bézier (lấy đúng mẫu của đường đã vẽ)
let s = diem-luon((0,0), dieu-khien((1,2),(2,2)), (3,0), n: 24)
nhan-cong(s, "song song", co: 12pt, phia: "duoi")

Đặt từng ký tự dọc theo duong (mảng điểm toạ độ toán — lấy từ diem-luon, diem-cung, lay-mau, hay bất kỳ dãy điểm nào), tự xoay tiếp tuyến và canh theo độ dài cung. chu nên là chuỗi "...". Tuỳ chọn: tu (vị trí bắt đầu theo tỉ lệ 0…1), can ("trai"/"giua"/"phai"), khoang (giãn ký tự), co (cỡ chữ), mau, phia ("tren"/"duoi"/"giua" so với đường), cach (hở chữ↔đường), dao: true (đảo chiều khi đường vẽ từ phải sang trái, để chữ đọc xuôi).

`cac-diem` — chấm và đặt tên nhiều điểm trong MỘT lệnh (07/2026)

cac-diem(
  (A, $A$, "below-left"), (B, $B$, "below-right"), (C, $C$, "above"),
  mau: blue, bk: 2.2pt,
)

Mỗi đối số là một điểm, viết theo một trong bốn dạng:

A — chỉ chấm, không nhãn;
(A, $A$) — chấm + nhãn, hướng lấy theo huong chung;
(A, $A$, "left") — thêm hướng riêng;
(A, $A$, "left", red) — thêm màu riêng (áp cho cả chấm lẫn chữ).

Tuỳ chọn chung: mau, bk (bán kính chấm), huong, cach (nhãn cách chấm), mau-ten (auto = theo màu chấm). Lệnh diem cũng nhận thêm cach và mau-ten như trên.

Tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm (07/2026)

tiep-tuyen(f, 1.5)                                  // tiếp tuyến tại x = 1,5
tiep-tuyen(f, 1.5, ten: auto, ten-diem: $M$, giong: true)   // + phương trình
tiep-tuyen(f, (-1, 2), mau: green, dut: true)       // nhiều tiếp điểm một lệnh
tiep-tuyen(f, 0, dai: 1.4, ten: $Delta$)            // đoạn ngắn quanh tiếp điểm
let k = dao-ham(f, 1.5)                             // chỉ lấy hệ số góc

Hệ số góc tính bằng đạo hàm số nên dùng được cho mọi hàm viết bằng closure (kể cả hàm hợp, hàm căn, lượng giác). Tuỳ chọn: dai (auto = kéo hết khung, tự cắt gọn theo cửa sổ; hoặc nửa độ dài theo trục Ox), cham/mau-cham (chấm tiếp điểm), ten-diem/huong-diem, ten (auto = tự ghi y = kx + m rút gọn), tai/huong-ten/cach/ten-quay (vị trí & kiểu nhãn), giong (kẻ đường gióng đứt từ tiếp điểm về hai trục), mau, day, dut.

Nhãn chú thích ngay trên đoạn (`doan`) (07/2026)

doan(A, B, ten: [6 cm])                          // giữa đoạn, tự đặt vuông góc
doan(A, B, ten: $h$, tai: 0.7, huong: "right", cach: 4pt)
doan(B, C, ten: [cạnh huyền], ten-quay: true)    // chữ nằm dọc theo đoạn

tai: vị trí nhãn theo tỉ lệ từ A đến B (0 = tại A, 1 = tại B, mặc định 0.5).
huong: auto (mặc định) = vuông góc, phía trên đoạn — đoạn thẳng đứng thì ra bên trái; hoặc tên hướng như trên, hoặc vectơ (dx, dy) tự chọn.
ten-quay: true: chữ xoay theo đoạn và luôn đọc xuôi (không lộn ngược).
mau-ten: mặc định lấy theo màu đoạn.

File thử: thu-cac-doan.typ.

Hàm tính toán: trung-diem, khoang-cach, chia(A, B, t) (t = tỉ lệ AM/AB, ngoài [0, 1] là điểm trên đường kéo dài), hinh-chieu(P, A, B), tam-ngoai-tiep, tam-noi-tiep, truc-tam(A, B, C) (giao ba đường cao), tam-bang-tiep(A, B, C) → (J, r) (tâm + bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A; muốn góc B thì gọi tam-bang-tiep(B, C, A)), tiep-diem, giao-hai-duong-tron, giao-duong-thang(A, B, C, D) (giao 2 đường thẳng AB, CD).

Giao với đường cong (07/2026): giao-ham(f, g, tu, den) trả về MẢNG giao điểm của 2 đồ thị y = f(x), y = g(x) trên [tu, den]; đường thẳng qua 2 điểm đổi thành hàm bằng ham-qua-2-diem(A, B); đường đứng x = k thì giao là (k, f(k)). Ví dụ đầy đủ: vi-du-ve-tu-do.typ.

KHÔNG cần gõ `ctx` nữa (07/2026)

Trong thân #hinh(...) và trong them: ctx => ... của mọi hình/đồ thị dựng sẵn, các lệnh vẽ tự lấy khung hình đang vẽ — bỏ hẳn ctx:

them: ctx => {
  doan(M, N, mau: blue, dut: true)
  ve-ham(g, mau: red)
  diem(A, mau: red, ten: $A$)
}

Lối cũ doan(ctx, M, N) vẫn chạy y nguyên (đối số đầu là ctx thì gọi thẳng) — bài soạn cũ không phải sửa một chữ nào.
Ngoại lệ vẫn phải truyền ctx: các hàm TRẢ VỀ GIÁ TRỊ chứ không vẽ — toa, toa-pt, toa-nguoc, goc-truc, ctx-quay, ctx-tinh-tien. Ví dụ nhãn nghiêng: nhan(P, $d$, quay: goc-truc(ctx, A, B)).
Gọi lệnh vẽ ở NGOÀI khung hình sẽ báo lỗi rõ ràng: “Hàm vẽ cần khung hình: đặt lệnh trong thân #hinh(…) hoặc trong them: ctx => …”.
Vẫn giữ ve-voi(ctx) (bộ hàm gắn sẵn ctx, lấy bằng let (doan, diem) = ve-voi(ctx)) cho ai muốn đặt tên riêng, hoặc khi vẽ trên khung đã quay: ve-voi(ctx-quay(ctx, 30deg)).

Danh sách 49 lệnh được gọi ngầm: nguyên thuỷ của ve.typ (doan, diem, nhan, mui-ten, vecto, duong-cong, duong-tron, elip, cung, goc, goc-vuong, ve-goc, ve-goc-vuong, danh-dau, ve-ham, to-vung, gach-mien, gach-vung, ve-mien, mui-ten, dau-mui-ten…), hệ trục của do-thi.typ (truc, luoi, vach-chia, he-truc, giong, nhan-pi), toàn bộ hinh-phang.typ (tam-giac, duong-cao, tu-giac…) và nhóm Oxyz (diem-oxyz, doan-oxyz, vecto-oxyz, giong-oxyz).

Các hàm KHÔNG cần ctx từ trước (trung-diem, chia, hinh-chieu, giao-ham, ham-qua-2-diem, so-toan, mien-tron, giao/hop/bu…) vẫn gọi thẳng như cũ.

giao-ham chỉ TÍNH, không vẽ ⇒ không truyền ctx; kết quả đem cho diem/nhan mới ra hình. Cận nhận cả 2 lối viết: giao-ham(f, g, -3, 2) hoặc giao-ham(f, g, tu: -3, den: 2). Lỡ gõ giao-ham(ctx, f, g, ...) thì ctx được bỏ qua chứ không báo lỗi. Quét qua tiệm cận đứng cũng an toàn: chỗ hàm “nhảy” bị loại khỏi kết quả.
them: ctx => {
  let f = x => (x + 2)/(x + 1)
  let g = x => x + 1
  ve-ham(g, mau: red)
  for P in giao-ham(f, g, -3, 2) { diem(P, mau: red, bk: 2.2pt) }
}

3. Hình phẳng (hinh-phang.typ)

#hinh(w: 7cm, xmin: -1, xmax: 6, ymin: -1, ymax: 5, ctx => {
  let (A, B, C) = ((0.5, 0), (5.5, 0), (3.5, 4))
  tam-giac(ctx, A, B, C)                          // nhãn đỉnh tự đặt
  duong-cao(ctx, C, A, B, ten-chan: $H$)
  trung-tuyen(ctx, A, B, C, ten-chan: $M$)
  phan-giac(ctx, B, C, A, ten-chan: $D$)
  phan-giac(ctx, B, C, A, vach: 1)                // 1 vạch: hai góc BẰNG NHAU
  phan-giac(ctx, B, C, A, so-cung: 2)             // hoặc 2 cung đồng tâm
  trung-truc(ctx, A, B)
  duong-tron-ngoai-tiep(ctx, A, B, C)             // tâm O tự tính
  duong-tron-noi-tiep(ctx, A, B, C)
})

Đường tròn ngoại tiếp ĐA GIÁC — duong-tron-ngoai-tiep nhận cả một MẢNG đỉnh, không chỉ tam giác. Từ 4 đỉnh trở lên, tâm và bán kính khớp theo bình phương bé nhất (đa giác nội tiếp được vẫn cho ĐÚNG đường tròn của nó).

#let P = range(5).map(i => toa-cuc((0, 0), 1, 90 + i * 72))    // ngũ giác đều
#duong-tron-ngoai-tiep(P, canh: true, ban-kinh: true, ten-r: $R$)
#let (O, R) = tron-qua-diem(P)    // TRẢ VỀ (tâm, bán kính), không vẽ

Nhãn tâm tự chọn phía THOÁNG nhất nên không rơi lên cạnh đa giác (huong-tam: để chỉ định tay). ban-kinh: true cũng tự chọn đỉnh mà bán kính không nằm đè lên cạnh — vd tam giác vuông có tâm ở giữa cạnh huyền thì bán kính vẽ tới đỉnh góc vuông chứ không trùng cạnh huyền.

Khung vừa khít hình (khung-vua) — đường tròn ngoại tiếp thường chìa ra ngoài đa giác nên rất dễ tràn khỏi #hinh. khung-vua trả về cửa sổ toạ độ vừa khít, rải thẳng vào #hinh:

#let (O, R) = tron-qua-diem((A, B, C))
#hinh(w: 5cm, ..khung-vua((A, B, C), (O, R)), ctx => {
  tam-giac(ctx, A, B, C)
  duong-tron-ngoai-tiep(ctx, A, B, C, ban-kinh: true, ten-r: $R$)
})

Mỗi đối số là một ĐIỂM (x, y), một ĐƯỜNG TRÒN (tâm, bán kính), hoặc một MẢNG gồm các thứ đó; le: chừa lề theo tỉ lệ cạnh lớn (mặc định 0.12).

Sẵn có thêm: tu-giac, hinh-binh-hanh (biết 3 đỉnh), hinh-chu-nhat, hinh-thang, tiep-tuyen-tu-diem(ctx, O, r, M) (hai tiếp tuyến + góc vuông), duong-tron-luong-giac(so-do: 55deg) (hình hoàn chỉnh, tự tạo khung).

Trực tâm & đường tròn bàng tiếp (07/2026) — trọn bộ công cụ tam giác:

ve-truc-tam(A, B, C)                  // 3 đường cao + ký hiệu vuông góc + H
ve-truc-tam(A, B, C, canh: false,     // không vẽ lại cạnh tam giác
  ten: $H$, ten-chan: ($H_A$, $H_B$, $H_C$))
duong-tron-bang-tiep(A, B, C)                    // bàng tiếp TRONG GÓC A
duong-tron-bang-tiep(A, B, C, ban-kinh: true,    // + bán kính tới BC
  ten-tam: $J_A$, ten-tiep: ($X$, $Y$, $Z$))
duong-tron-bang-tiep(B, C, A)                    // bàng tiếp trong góc B

ve-truc-tam tự kéo dài cạnh bằng nét đứt khi tam giác tù (chân đường cao rơi ra ngoài cạnh); duong-tron-bang-tiep tự kéo dài AB, AC tới tiếp điểm (keo-dai: false để tắt).

Tam giác đặc biệt (tự vẽ ký hiệu vuông góc, vạch cạnh bằng nhau):

tam-giac-deu(ctx, A, canh)              // đều
tam-giac-vuong(ctx, A, a, b)            // vuông tại A, hai cạnh a × b
tam-giac-can(ctx, A, canh-day, chieu-cao)   // cân tại C
tam-giac-vuong-can(ctx, A, canh)        // vuông cân tại A

4. Hình không gian (hinh-khong-gian.typ)

Các hình hoàn chỉnh, nét khuất tự vẽ đứt theo quy ước SGK:

#hinh-chop-tam-giac()                        // S.ABC
#hinh-chop-tu-giac(duong-cao: "tam", duong-cheo: true)   // chóp đều S.ABCD
#hinh-chop-tu-giac-thuong(duong-cheo: true)  // chóp tứ giác thường (góc nhìn khác)
#hinh-chop-day-hinh-thang(duong-cheo: true)  // chóp đáy hình thang
#hinh-chop-tu-giac(duong-cao: "dinh-a")      // SA ⊥ đáy
#hinh-hop(duong-cheo: true)                  // hộp + đường chéo AC′ (nghieng: độ xiên)
#hinh-hop-chu-nhat(duong-cheo: true)         // hộp chữ nhật dài (nhìn thẳng, nghieng: 0)
#hinh-lap-phuong()
#hinh-lang-tru-tam-giac()
#hinh-non()  #hinh-tru()  #hinh-cau()
#truc-oxyz(don-vi: true)

// Hình chóp đặc biệt
#hinh-chop-tam-giac-deu(trung-tuyen: true)  // S.ABC đều, SO ⊥ đáy tại trọng tâm
#hinh-chop-tu-giac-deu()                    // S.ABCD đều, 2 đường chéo + SO
#hinh-chop-tam-dien-vuong()                 // O.ABC: OA, OB, OC đôi một vuông góc
#hinh-chop-day-tam-giac-vuong()             // ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC)
#hinh-chop-day-chu-nhat()                   // đáy chữ nhật, SA ⊥ đáy

Vẽ thêm lên hình có sẵn bằng them — nhận ctx và từ điển đỉnh d (d.S, d.A, d.B, d.C, d.D, hình hộp/lăng trụ có d.A1 = A′…):

#hinh-chop-tu-giac(them: (ctx, d) => {
  let M = trung-diem(d.S, d.C)
  diem(ctx, M, ten: $M$, huong: "phai", mau: blue)
  doan(ctx, d.B, M, mau: blue, dut: true)
  da-giac(ctx, (d.A, M, d.B), to: rgb(30,100,200,40))   // thiết diện mờ
})

5. Đồ thị hàm số (do-thi.typ)

Vẽ nhanh nhất — chỉ cần công thức và màu, cửa sổ tự chọn:

#ve-do-thi(x => x*x*x - 3*x, mau: red)
#ve-do-thi(x => calc.sin(2*x) + x/2, mau: purple, ten: $y = sin 2x + x/2$)
#ve-do-thi(x => calc.exp(x) - 2, mau: blue, xmin: -3, xmax: 2)

(Hàm cần xác định trên đoạn vẽ; hàm có tiệm cận đứng dùng do-thi-phan-thuc.)

Đồ thị dựng sẵn (tự chọn cửa sổ đẹp, gióng điểm đặc biệt):

#do-thi-bac-nhat(2, -1)                      // y = 2x − 1
#do-thi-bac-hai(1, -2, -1)                   // parabol, gióng đỉnh
#do-thi-bac-ba(1, -3, 0, 2)                  // gióng 2 cực trị
#do-thi-trung-phuong(1, -2, 0)
#do-thi-phan-thuc(2, -1, 1, -1)              // y=(2x−1)/(x−1), 2 tiệm cận đứt đỏ
#do-thi-mu(2)   #do-thi-log(2)
#do-thi-sin()   #do-thi-cos()   #do-thi-tan()   // nhãn π/2, π, 2π
#do-thi-can()

Mọi đồ thị dựng sẵn đều nhận luoi-o: true (lưới ô vuông mờ) và vach: true (vạch chia + số trên hai trục; riêng sin/cos/tan chỉ có luoi-o vì trục hoành đã ghi theo π). Khi bật vach, nên đặt giao-ox: none, giao-oy: none để nhãn giao trục không chồng lên số vạch.

Vẽ tay trong #hinh: he-truc(ctx) gộp lưới + trục + vạch chia + số một lệnh:

#hinh(xmin: -4, xmax: 4, ymin: -3, ymax: 3, ctx => {
  he-truc(ctx)               // tuỳ chọn: luoi-o, vach, so, buoc-x, buoc-y, ten-x...
  ve-ham(ctx, x => x*x - 2, mau: blue)
})

Hàm bất kỳ + vẽ chồng qua them:

#do-thi-ham(x => calc.abs(x*x - 2*x), xmin: -2, xmax: 4, ymin: -1, ymax: 4,
  ten: $y = |x^2 - 2x|$, luoi-o: true, vach: true,
  them: ctx => {
    ve-ham(ctx, x => 1.5, mau: red, dut: true)   // đường y = m
    giong(ctx, (3, 3))                            // gióng điểm về 2 trục
  })

Nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục

Mỗi hàm gói bằng ham(...); giao-diem: auto chấm đỏ giao điểm từng cặp:

#do-thi-nhieu-ham(
  ham(x => x*x - 2, mau: blue, ten: $y = x^2 - 2$),
  ham(x => x, mau: red, ten: $y = x$, dut: true, tai: -2),  // tai: hoành độ đặt nhãn
  xmin: -3, xmax: 3, ymin: -3, ymax: 4,
  giao-diem: auto,
)

Miền nghiệm BPT / hệ BPT bậc nhất hai ẩn

Quy ước SGK: gạch phần không là miền nghiệm; biên nét đứt nếu BPT ngặt. Mỗi BPT a·x + b·y (dau) c khai báo bằng bpt(a, b, c, dau: "<="):

#mien-nghiem(bpt(4, 5, -8, dau: "<"), giao-truc: auto)   // 4x + 5y < −8
#mien-nghiem(                                            // hệ BPT + tô miền
  bpt(3, -2, -9, mau: red, ten: $3x - 2y = -9$, ten-tai: 0.7, huong-ten: "left"),
  bpt(-3, 5, 18, mau: green.darken(25%)),
  to-mien: rgb(40, 90, 200, 35),
  xmin: -7.5, xmax: 2.5, ymin: -1.5, ymax: 5,
)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị

g mặc định là trục hoành; a, b: auto = tự lấy giao điểm ngoài cùng (trong phạm vi tu..den); miền tô tự tách tại giao điểm ở giữa:

#dien-tich-2-ham(x => x*x, g: x => x + 2)              // tự tìm giao điểm
#dien-tich-2-ham(x => calc.sin(x), a: 0.5, b: 2.6)     // trên đoạn [a, b]
#dien-tich-2-ham(x => x*x - 1, g: x => -x - 1, a: -2, b: 1.5,
  ten-f: $y = x^2 - 1$, ten-g: $y = -x - 1$, mau-to: rgb(200, 60, 60, 60))

Cần vẽ tay trong them của đồ thị khác: to-vung-2-ham(ctx, f, g, a, b) (và to-vung(ctx, f, a, b) với trục hoành); gạch chéo đa giác lồi: gach-mien(ctx, cac-dinh).

Khối tròn xoay (07/2026)

#khoi-tron-xoay(f, a, b) vẽ hai hình cạnh nhau: trái là miền phẳng đã tô màu (giới hạn bởi y = f(x), trục hoành, x = a, x = b), phải là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền đó quanh Ox — nét khuất tự vẽ đứt.

#khoi-tron-xoay(x => calc.sqrt(x), 0, 4, ten-ham: $y = sqrt(x)$, the-tich: true)
#khoi-tron-xoay(x => 0.35*x*x + 0.5, 0, 3, mat-cat: 2)   // thiết diện tại x = 2
#khoi-tron-xoay(x => 1.6, 0, 3, g: x => 0.7)             // khối rỗng (vành khăn)
#khoi-tron-xoay(y => 0.6 + 0.5*y, 0, 3, truc: "Oy")      // quay quanh Oy
#khoi-tron-xoay(f, a, b, hien: "khoi")                   // chỉ lấy khối 3D
#khoi-tron-xoay(f, a, b, hien: "mien")                   // chỉ lấy miền phẳng

Tham số: truc ("Ox" mặc định | "Oy" — khi đó f là bán kính theo y), hien ("ca-hai" | "mien" | "khoi"), g (bán kính trong → vành khăn), mat-cat: c (vẽ đĩa/vành thiết diện tại c + bán kính, kèm ten-ban-kinh, ten-mat-cat), the-tich: true (ghi công thức V = π∫f²dx dưới hình), w (bề rộng hình khối), k (độ “dẹt” của elip, mặc định 0.26), ten-ham, ten-ham-trong, ten-a, ten-b, ten-goc, nhan-giua, mau, mau-to, mau-mien, them / them-mien (vẽ chồng vào hình khối / hình miền).

Vẽ riêng vào một khung #hinh có sẵn: ve-khoi-xoay(f, a, b, ...) và ve-mien-xoay(f, a, b, ...) (thêm ngang: false cho trục quay thẳng đứng).

Gạch chéo miền bất kì (biên cong, hợp/giao/hiệu tuỳ ý): khai báo mỗi hình đúng MỘT lần bằng mien-tron(O, r) / mien-elip(O, a, b, quay:), vẽ biên bằng ve-mien(ctx, m), gạch bằng gach-vung + phép tập hợp giao/hop/bu — đổi tâm/bán kính một chỗ là vẽ và gạch tự khớp. Ví dụ Ven $(A sect B) without C$:

#hinh(w: 4.5cm, xmin: -2, xmax: 2, ymin: -2, ymax: 2, ctx => {
  let A = mien-tron((-0.5, 0.3), 0.9)
  let B = mien-tron((0.5, 0.3), 0.9)
  let C = mien-tron((0, -0.5), 0.5)      // bán kính khác nhau thoải mái
  ve-mien(ctx, A)
  ve-mien(ctx, B)
  ve-mien(ctx, C)
  gach-vung(ctx, giao(A, B, bu(C)), mau: black, day: 0.4pt, buoc: 4.5pt)
})

giao/hop/bu lồng nhau tuỳ ý: hop(A, B), giao(A, hop(B, C)), bu(hop(A, B))… Miền không phải tròn/elip thì gach-vung vẫn nhận hàm P => true/false như cũ; helper điểm: trong(P, m) (nhận miền hoặc hàm), trong-tron(P, O, r), trong-elip(P, O, a, b, quay:).

Tuỳ chọn: goc: (hướng vạch, mặc định 45°), buoc: (khoảng cách vạch), n: (số mẫu mỗi vạch — biên càng mịn).

Phép quay & tịnh tiến (ve.typ)

Elip xoay: elip(ctx, O, a, b, quay: 30deg) (dương = ngược chiều kim đồng hồ, xoay quanh tâm O); kiểm tra điểm cùng góc: trong-elip(P, O, a, b, quay: 30deg). cung và cung-elip cũng nhận quay: (xoay cung quanh tâm).

Quay/tịnh tiến cả cụm hình — mọi hàm vẽ theo điểm (doan, da-giac, tam-giac, duong-tron, diem, nhan, vecto…) đều tự biến đổi khi vẽ bằng ctx đã bọc:

#hinh(w: 7cm, xmin: -1, xmax: 8, ymin: -1, ymax: 4, ctx => {
  let ve-hinh = c => {
    tam-giac(c, (0, 0), (2, 0), (0.6, 1.6))
    duong-tron(c, (1, 0.55), 0.4, mau: blue)
  }
  ve-hinh(ctx)                                  // hình gốc
  ve-hinh(ctx-quay(ctx, 35deg, tam: (0, 0)))    // ảnh quay quanh O
  ve-hinh(ctx-tinh-tien(ctx-quay(ctx, 35deg, tam: (0, 0)), (4.5, 0.5)))
})                                              // quay trước, tịnh tiến sau

Biến đổi điểm lẻ: quay-diem(P, tam, goc), tinh-tien-diem(P, v).

Toạ độ CỰC kiểu TikZ — toa-cuc(tam, bk, goc) trả về điểm cách tam một khoảng bk, quay góc goc (số trần = ĐỘ, nhận cả 30deg; dương = ngược kim đồng hồ). TikZ (30:2) ⇔ toa-cuc((0,0), 2, 30). Ví dụ lục giác đều:

#let dinh = range(6).map(k => toa-cuc((0, 0), 2.6, 60 * k))
#duong-gap-khuc(ctx, dinh, dong: true)

Lưu ý: gach-vung mô tả miền theo toạ độ GỐC của khung (không qua ctx-quay); riêng elip xoay đã có trong-elip(..., quay:) tương ứng.

Sơ đồ cây xác suất (so-do-cay.typ)

Cây sâu tuỳ ý; nút lá có ô kết quả bên phải; màu ô tự đổi theo cấp:

#so-do-cay(
  goc: $1$,
  nhanh: (
    nut($A$, xs: $1/6$, con: (
      nut($B$, xs: $1/2$, kq: $A B: 1/12$),
      nut($overline(B)$, xs: $1/2$, kq: $A overline(B): 1/12$),
    )),
    nut($overline(A)$, xs: $5/6$, con: (
      nut($B$, xs: $1/3$, kq: $overline(A) B: 5/18$),
      nut($overline(B)$, xs: $2/3$, kq: $overline(A) overline(B): 5/9$),
    )),
  ),
)

Hệ trục Oxyz theo đơn vị thật (hinh-khong-gian.typ)

oxyz vẽ 3 trục + vectơ đơn vị $arrow(i), arrow(j), arrow(k)$; them nhận (ctx, t3) với t3 đổi toạ độ $(x, y, z)$ thành điểm 2D — dùng được với mọi hàm vẽ phẳng:

#oxyz(x: 5, y: 8, z: 8, them: (ctx, t3) => {
  giong-oxyz(ctx, t3, (5, 8, 8))                       // hộp gióng nét đứt
  vecto-oxyz(ctx, t3, (0, 0, 0), (5, 8, 8), mau: red)
  diem-oxyz(ctx, t3, (5, 8, 8), ten: $B$, huong: "above-right")
})

Kèm doan-oxyz(ctx, t3, A, B); điểm nằm trong (Oxy) chỉ vẽ hình gióng phẳng. Xem thu-ve-moi.typ để có ví dụ đầy đủ của cả 6 định nghĩa.

Mới (07/2026): vach: true vạch chia đơn vị trên 3 trục, so: true ghi số tại các vạch, buoc: bước chia, luoi: lưới trên mặt phẳng toạ độ — "xy" | tuple ("xy", "xz", "yz") | true (cả 3), màu chỉnh bằng mau-luoi:

#oxyz(x: 3, y: 4, z: 3, vach: true, so: true, luoi: "xy")

6. Bảng biến thiên & bảng xét dấu (bang.typ)

BBT tự động từ hệ số (07/2026) — chỉ nhập hệ số (positional), thuật toán tự tìm cực trị/tiệm cận/chiều biến thiên, phủ mọi trường hợp, nhãn số đẹp (phân số, căn, (m ± k√n)/q):

#bbt-bac-hai(1, -3, 1)          // y = x² − 3x + 1
#bbt-bac-ba(1, 0, -3, 1)        // y = x³ − 3x + 1: 2 cực trị / Δ'=0 / đơn điệu
#bbt-trung-phuong(1, -2, 0)     // y = x⁴ − 2x²: 3 hoặc 1 cực trị
#bbt-phan-thuc(2, -1, 1, -1)    // y = (2x−1)/(x−1): tự xét dấu ad − bc
#bbt-huu-ti(1, -1, 1, 1, -1)    // y = (x²−x+1)/(x−1): 2 cực trị / đơn điệu
#bbt-can-bac-hai-ham-bac-hai(1, 0, -4)  // y = √(x²−4): tự phân 3 TH theo a, Δ

bbt-can-bac-hai-ham-bac-hai(a, b, c) — BBT hàm $y = sqrt(a x^2 + b x + c)$, đỉnh $x_0 = -b/(2a)$, giá trị đỉnh $sqrt((4 a c - b^2)/(4a))$ (in căn thức chính xác). Ba trường hợp: a > 0, Δ > 0 (2 nghiệm) → TXĐ $(-oo, x_1] union [x_2, +oo)$, khoảng giữa gạch chéo (ngoài TXĐ), giá trị 2 nghiệm $= 0$; a > 0, Δ ≤ 0 (nghiệm kép / vô nghiệm) → TXĐ $RR$, cực tiểu tại đỉnh (Δ = 0 → min $= 0$, $y’$ không xác định tại đỉnh, ghi ‖); a < 0, Δ > 0 (2 nghiệm) → TXĐ $[x_1, x_2]$, cực đại tại đỉnh (a < 0 mà Δ ≤ 0 → TXĐ rỗng, báo lỗi).

Form cũ (named) vẫn chạy: bbt-bac-hai(a: 1, xd:, yd:), bbt-bac-ba(a: -1, x1: $-1$, ...), bbt-bac-ba-don-dieu(a: 1), bbt-trung-phuong(a: 1, x0:, yc:, y0:), bbt-phan-thuc(x0: $1$, y0: $2$, dong-bien: false), xet-dau-tam-thuc(a: 1, x1: $1$, x2: $2$).

Khảo sát & vẽ đồ thị tự động (07/2026, khao-sat.typ) — chỉ nhập hệ số là xổ ra TRỌN lời giải (tập xác định, đạo hàm, giới hạn, chiều biến thiên, cực trị / tiệm cận, bảng biến thiên) kèm đồ thị, phủ mọi trường hợp của mỗi hàm:

#khao-sat-ve-do-thi-ham-bac-hai(1, -2, -3)        // y = x² − 2x − 3 (a>0/a<0, Δ mọi dấu)
#khao-sat-ve-do-thi-ham-bac-ba(1, 0, -3, 1)       // y = x³ − 3x + 1 (2 cực trị / Δ'=0 / đơn điệu)
#khao-sat-ve-do-thi-ham-trung-phuong(1, -2, 0)    // y = x⁴ − 2x²    (3 hoặc 1 cực trị)
#khao-sat-ve-do-thi-ham-phan-thuc(2, -1, 1, -1)   // y = (2x−1)/(x−1) (đồng/nghịch biến)
#khao-sat-ve-do-thi-ham-huu-ti(1, 4, 20, 1, 2)    // y = (x²+4x+20)/(x+2) (2 cực trị / đơn điệu)

Tham số chung: tieu-de: (auto = dòng đậm “Khảo sát… y = …”; none = bỏ; hoặc nội dung tuỳ ý), w: bề rộng đồ thị (mặc định 7.6cm), giua: true canh giữa BBT + đồ thị. Đặt thẳng trong thân câu hoặc trong loi-giai: của #tl(...).

Bảng tuỳ ý — quy ước: dau dài 2n−1 xen kẽ [tại mốc, trên khoảng, …]; tại điểm gián đoạn thêm chỉ số vào kep và cho gia-tri một cặp (trái, phải):

// y = x³ − 3x² + 2
#bbt(
  x: ($-oo$, $0$, $2$, $+oo$),
  dau: ("", "+", "0", "-", "0", "+", ""),
  gia-tri: ($-oo$, $2$, $-2$, $+oo$),
  huong: ("len", "xuong", "len"),
)

// y = (2x−1)/(x−1): tiệm cận đứng x = 1 (kẹp ‖)
#bbt(
  x: ($-oo$, $1$, $+oo$),
  dau: ("", "-", "||", "-", ""),
  gia-tri: ($2$, ($-oo$, $+oo$), $2$),
  huong: ("xuong", "xuong"),
  kep: (1,),
)

// Bảng xét dấu nhiều dòng
#bang-xet-dau(
  x: ($-oo$, $1$, $3$, $+oo$),
  dong: (
    ($x - 1$, ("", "-", "0", "+", "", "+", "")),
    ($x - 3$, ("", "-", "", "-", "0", "+", "")),
    ($f(x)$,  ("", "+", "0", "-", "0", "+", "")),
  ),
)

Ký hiệu dấu: "+", "-", "0", "||" (kẹp), "" (trống); huong: "len" | "xuong" | "ngang".

Tự bù ô trống hai đầu (08/2026) — dãy dau phải dài 2n−1 nên hai đầu luôn là ô trống ""; AI sinh bài rất hay quên đúng hai ô đó. Nay bbt và bang-xet-dau tự chèn thêm (chỉ chèn ở ĐẦU/CUỐI, không bao giờ chèn vào giữa; thiếu 1 ô thì tự đoán đầu nào thiếu theo quy ước "+"/"-" nằm trên khoảng, "0"/"||" nằm tại mốc). Thiếu quá 2 ô hoặc thừa ô thì báo lỗi bằng tiếng Việt nói rõ cần bao nhiêu phần tử — thay cho array index out of bounds. Kèm theo: dau nhận cả số trần (0 thay vì "0"), còn x và gia-tri nhận chuỗi "-oo"/"+oo" và số trần (-5/3) rồi tự quy về nội dung toán. Nghĩa là đoạn dưới đây chạy đúng y như bản viết đủ:

#bbt(                                  // thiếu 2 ô trống + "-oo" dạng chuỗi
  x: ("-oo", -3, -1, "+oo"),
  dau: ("+", 0, "-", 0, "+"),
  gia-tri: ("-oo", 5, -5/3, "+oo"),
  huong: ("len", "xuong", "len"),
)

File thử: thu-bbt-bu-dau.typ.

Mũi tên nửa ô (07/2026) — khi hàm đơn điệu qua mốc y′ = 0 (nghiệm kép), để 2 mũi tên cùng chiều nằm trên 1 đường thẳng đi qua giá trị đặt giữa ô: "len-duoi" (đáy→giữa) rồi "len-tren" (giữa→đỉnh); nghịch biến dùng "xuong-tren" (đỉnh→giữa) rồi "xuong-duoi" (giữa→đáy). Giá trị tại mốc kề đầu mút “giữa” tự đặt chính giữa ô — không cần box thủ công:

// y = x³ − 3x² + 3x: y' = 0 kép tại x = 1, vẫn đồng biến
#bbt(
  x: ($-oo$, $1$, $+oo$),
  dau: ("", "+", "0", "+", ""),
  gia-tri: ($-oo$, $1$, $+oo$),
  huong: ("len-duoi", "len-tren"),
)

bbt-bac-ba(a, b, c, d) (và khao-sat-ve-do-thi-ham-bac-ba) trường hợp Δ′ = 0 tự dùng kiểu này.

7. Câu hỏi định dạng đề thi 2025 (cau-hoi.typ)

Bảy dạng: MC/TF/SA/TL đánh số “Câu N” liên tục chung; HĐ (hoạt động) đánh “HĐ1, HĐ2…”, Luyện tập đánh “Luyện tập 1, 2…” (chung bộ đếm với khung #luyen-tap) và Vận dụng đánh “Vận dụng 1, 2…” — mỗi loại bộ đếm riêng. Một công tắc đổi giữa bản giáo viên (hiện đáp án, tô xanh) và bản chiếu cho học sinh: #bat-dap-an() / #tat-dap-an(). Ở chế độ beamer, công tắc tự BẬT sẵn (kể cả khi dùng bai-giang trực tiếp, không qua de-toan) — đáp án được đánh dấu ở bước lo-da (bước cuối) của mỗi câu; muốn ẩn thì gọi #tat-dap-an(). Sang đề mới đánh số lại: #dat-lai-cau() (hoặc #dat-lai-cau(0)) đặt lại cả 8 dạng câu — Câu (tn/ds/tln/tl), Ví dụ, Hoạt động, Luyện tập, Vận dụng thực tế — về 1; #dat-lai-cau(3) đánh tiếp từ 4 (tổng quát n → từ n + 1).

// MC — 4 phương án, cot: 1 | 2 | 4
#cau-mc([Câu hỏi...?], ($1$, $2$, $3$, $4$), dap-an: "B", cot: 4,
  loi-giai: [Hướng dẫn giải...])

// TF — 4 ý đúng/sai
#cau-tf([Đề bài...], ([ý a], [ý b], [ý c], [ý d]),
  dap-an: (true, true, false, false), loi-giai: [...])

// SA — trả lời ngắn (khi ẩn đáp án sẽ hiện 4 ô điền như phiếu TLĐ)
#cau-sa([Tính ...?], dap-an: $12$, loi-giai: [...])

// TL — tự luận; lời giải chỉ hiện khi bật đáp án
#cau-tl([Đề bài...], diem: 2, loi-giai: [Hướng dẫn...], cho-trong: 3cm)

// HĐ — hoạt động (khởi động/khám phá): thẻ "HĐ1" cam, hình thức như TL;
// nhiều ý hỏi thì dùng #cot-item trong thân câu
#cau-hd([Cho hàm số... #cot-item([Tìm GTLN...], [Tìm GTNN...])],
  loi-giai: [a) ... \ b) ...])

// LT — luyện tập (củng cố lý thuyết): thẻ "Luyện tập 1" vàng đậm,
// chung bộ đếm với khung #luyen-tap
#cau-lt([Tìm GTLN — GTNN của $y = sqrt(2x - x^2)$.], loi-giai: [...])

// VDTT — vận dụng thực tế: thẻ "Vận dụng 1" tím, hình thức như TL
#cau-vdtt([Một chiếc hộp...], loi-giai: [Gọi $x$... \ Vậy...])

Cả 7 dạng đều có loi-giai:; trong slide hoạt hình dùng thêm lo-da: (bước lộ đáp án) và lo-giai: (bước lộ lời giải, mặc định cùng bước với đáp án). Số thứ tự câu/ví dụ/luyện tập không đổi qua các bước hoạt hình.

Khung công thức: #cong-thuc[$S = pi r^2$] (cùng họ với #dinh-nghia, #dinh-ly).

8. Hoạt hình xuất hiện từng bước

Nguyên lý như Beamer: slide có so-buoc: n được in thành n trang PDF — khi trình chiếu, bấm phím chuyển trang là nội dung “hiện dần”. Chân trang đánh số theo slide (không tăng theo bước).

#slide(tieu-de: [Ví dụ], so-buoc: 3)[
  Nội dung luôn hiển thị.
  #lo(2)[Hiện từ bước 2 — khi chưa hiện KHÔNG chiếm chỗ (như \pause của LaTeX
         beamer; nhờ vậy slide dài không sinh trang trắng đệm).]
  #lo(2, giu-cho: true)[Ẩn nhưng giữ chỗ — chỉ dùng khi slide chắc chắn gọn 1 trang.]
  #chi(2)[Chỉ hiện đúng ở bước 2 (mặc định giữ chỗ).]
  #chi(3, giu-cho: false)[Chỉ hiện ở bước 3, không giữ chỗ.]
  #tung-buoc([ý 1 — bước 2], [ý 2 — bước 3])   // danh sách hiện dần
  #buoc(hien-dan: true, [Bước giải 1...], [Bước giải 2...])
]

Với câu hỏi, dùng lo-da để đề hiện trước, đáp án lộ sau:

#slide(tieu-de: [Kiểm tra], so-buoc: 2)[
  #cau-mc([Đề...?], ($1$, $2$, $3$, $4$), dap-an: "B", lo-da: 2)
]

Bước 1 chiếu đề cho học sinh làm, bấm một cái → phương án đúng được tô xanh. (Ở beamer công tắc đáp án đã bật sẵn; chỉ cần #bat-dap-an() cho bản in A4.)

#lo dùng được với MỌI nội dung — ví dụ hiện dần lời giải khảo sát:

#slide(tieu-de: [Khảo sát hàm số], so-buoc: 4)[
  #vi-du[Khảo sát $y = -x^3 + 3x$.]        // bước 1: đề
  #lo(2)[#loi-giai[$y' = -3x^2 + 3$]]       // bước 2: đạo hàm
  #lo(3)[
    #bbt(
      x: ($-oo$, $-1$, $1$, $+oo$),
      dau: ("", "-", "0", "+", "0", "-", ""),
      gia-tri: ($+oo$, $-2$, $2$, $-oo$),
      huong: ("xuong", "len", "xuong"),
    )
  ]                                          // bước 3: bảng biến thiên
  #lo(4)[#figure(do-thi-bac-ba(-1, 0, 3, 0))] // bước 4: đồ thị
]

Lời giải dài — `#sang-man` và tự ngắt màn

Trong loi-giai: của 8 dạng câu hỏi, đặt #sang-man trên một dòng riêng để đẩy phần sau đó sang một slide mới mang nhãn “Hướng dẫn giải (tiếp)”. Nhớ dấu \ ở cuối dòng chữ ngay trước dấu này. Bản in A4 bỏ qua nó.

loi-giai: [
  a) Hàm số đồng biến trên $(0; 2)$. \
  Cực đại tại $x = 2$. \
  #sang-man \
  b) Xét $f'(x) = 0 <=> x = 1$.
],

Quên chèn mà lời giải vẫn cao hơn thân slide thì thư viện tự đo và tự ngắt: dòng nào làm tràn sẽ được đẩy sang màn “(tiếp)”. Nhờ vậy đề bài không còn bị in lại xen giữa các trang lời giải — mỗi bước hoạt hình vốn in slide lại từ đầu, nên một slide tràn trang sẽ đẻ ra trang “đề” lặp. Đề dài tới mức không dòng lời giải nào lọt thì slide đầu chỉ hiện đề.

#tu-ngat-man(false)

9. Thanh điều hướng & mục lục

Đầu trang mỗi slide (beamer): dải màu đậm phía trên thanh tiêu đề luôn hiện tên bài học (tieu-de-ngan, mặc định là tieu-de) bên trái và tên mục hiện tại bên phải.
Chân trang mỗi slide là thanh điều hướng: bên trái là tên các phần (bấm để nhảy tới đầu phần; phần hiện tại in đậm), giữa là dãy chấm tròn — mỗi chấm một slide của phần hiện tại, chấm đặc là slide đang xem, bấm chấm nào nhảy tới slide đó.
#muc(ngan: [Phần 1])[Phần 1. Tên đầy đủ...] — ngan là nhãn rút gọn hiển thị trên thanh điều hướng.
#muc-luc() (đặt sau trang bìa) — slide mục lục tự động liệt kê mọi phần và tiêu đề mọi slide, bấm vào tiêu đề nào nhảy thẳng tới slide đó.

Liên kết hoạt động trong mọi PDF reader (SumatraPDF, Edge, Adobe…).

10. Một file nguồn — ba kiểu PDF (hồ sơ hiển thị)

Soạn đề MỘT LẦN trong file kiểu de-mau.typ, xuất được 3 bản:

Hồ sơ	Kết quả
`"dethi"`	Đề thi A4: MC/TF/SA/TLẩn đáp án + lời giải; ví dụ vẫn hiện lời giải; phần Họ tên / Số báo danh (hoặc Lớp) / Mã đề chỉ hiện khi khai báo `hien-ho-ten` / `sbd` / `hien-ma-de`
`"loigiai"`	Bản A4 đáp án: mọi câuhiện lời giải, tô đáp án đúng
`"beamer"`	Trình chiếu:mỗi câu một slide — hiện đề → lời giải hiện dần theo từng dấu `\` → cuối cùng đánh dấu đáp án

#import "@preview/conic-toan:0.3.3": *
#let ho-so = sys.inputs.at("ho-so", default: "dethi")

#show: de-toan.with(ho-so: ho-so, tieu-de: [ĐỀ KIỂM TRA...],
  mon: [MÔN TOÁN 12], thoi-gian: "90 phút", truong: [...], ma-de: "101",
  ngay: "30/12/2026",  // bản dethi in "Ngày kiểm tra: ..." dưới dòng thời gian
  hien-ho-ten: true,   // 3 dòng thông tin thí sinh CHỈ hiện khi khai báo:
  sbd: "sbd",          //   sbd: "sbd"=Số báo danh | "lop"=Lớp | none=ẩn
  hien-ma-de: true,    //   hien-ho-ten / hien-ma-de: bật ô tương ứng
  ti-le-chu: 1.0,   // hệ số phóng cỡ chữ thân — dùng chung cho cả 3 hồ sơ
  gian-dong: 1.0,   // hệ số GIÃN DÒNG — dùng chung cho cả 3 hồ sơ (xem §Giãn dòng)
  mau-cong-thuc: auto)  // màu công thức $...$; auto = đen (thừa kế). Đặt màu để nhuộm cả bài

// Gọi thẳng #vd/#tn/#ds/#tln/#tl/#hd/#lt/#vdtt/#phan — các hàm tự nhận
// biết chế độ, không cần khai báo tao-cau-hoi (dòng cũ vẫn chạy được).

#phan([PHẦN I. Trắc nghiệm], ngan: [Phần I])
#tn([Đề...?], ($1$,$2$,$3$,$4$), dap-an: "B",
  loi-giai: [Bước 1... \ Bước 2... \ Chọn *B*.],
  tieu-de: [Cực trị])        // tiêu đề slide, chỉ dùng ở beamer

#hd([Hoạt động khám phá...], loi-giai: [a) ... \ b) ...],
  tieu-de: [HĐ1: Nhận biết])   // câu hoạt động — thẻ "HĐ1"
#lt([Bài luyện tập...], loi-giai: [$y' = ...$ \ Vậy...],
  tieu-de: [Luyện tập 1])      // câu luyện tập — thẻ "Luyện tập 1"
#vdtt([Bài toán thực tế...], loi-giai: [Gọi $x$... \ Vậy...],
  tieu-de: [Vận dụng])         // câu vận dụng — thẻ "Vận dụng 1"

Xuất cả 3 bản không cần sửa file:

typst compile --input ho-so=dethi de-mau.typ de-thi.pdf
typst compile --input ho-so=loigiai de-mau.typ dap-an.pdf
typst compile --input ho-so=beamer de-mau.typ trinh-chieu.pdf

Quy ước: trong loi-giai: của câu hỏi, mỗi dấu \ (xuống dòng) là một bước xuất hiện khi trình chiếu; ở bản A4 chúng chỉ là xuống dòng thường.

Giãn dòng — `gian-dong`

Khi một dòng có phân số, căn thức hoặc chỉ số nhiều tầng ( $-(11 pi)/5 = -(11 pi)/5 dot (180/pi) degree$ ), tử số của dòng dưới dễ dính — thậm chí chồng — vào dòng trên. gian-dong là hệ số nhân vào khoảng cách dòng: 1.0 = mốc mặc định, 1.3 = giãn thêm 30%, 0.9 = thu lại 10%. Bốn cách dùng, phạm vi từ rộng đến hẹp:

// 1) TOÀN TÀI LIỆU — khai ở dòng #show
#show: bai-giang.with(tieu-de: [CHƯƠNG I], gian-dong: 1.25)
#show: de-toan.with(ho-so: ho-so, ma-de: "0101", gian-dong: 1.25)

// 2) ĐỔI GIỮA BÀI — áp cho các slide + khung lời giải PHÍA SAU
#gian-dong(1.4)
...          // phần này giãn 1.4
#gian-dong(1.0)   // trả về mốc mặc định

// 3) RIÊNG MỘT CÂU — tham số gian-dong: của #vd/#tn/#ds/#tln/#tl/#hd/#lt/#vdtt
#tn([Đề...?], ($1$, True($2$), $3$, $4$),
  gian-dong: 1.5,
  loigiai: [$-(11 pi)/5 = -396 degree$. \ Vậy...])

// 4) RIÊNG MỘT KHỐI nội dung bất kì
#voi-gian-dong(1.7)[
  Đoạn này giãn 1.7; phần trước và sau không đổi.
]

Mốc 1.0 ứng với leading gốc của từng hồ sơ (trình chiếu 0.62em · A4 bài giảng 0.6em · A4 đề thi 0.65em) nên một hệ số dùng chung được cho cả 3 bản PDF, và đặt 1.0 thì bố cục/số trang y như trước.

Hệ số này giãn cả hai loại khoảng cách: giữa các dòng trong cùng một đoạn (nối bằng \) và giữa hai đoạn (chỗ để dòng trống, mốc 1.2em). Trước 08/2026 chỉ giãn loại thứ nhất, nên nội dung có dòng trống trông như voi-gian-dong “chỉ ăn đoạn đầu rồi mất tác dụng”.

Khung lời giải hiện dần ở beamer (giai-buoc) vốn đã rộng hơn thân slide (mốc 0.95em); hệ số gian-dong nhân thêm vào mốc đó. Muốn ấn định độ dài tuyệt đối thì dùng giai-buoc(..., gian: 1.2em).

Từ 08/2026 hệ số này còn giãn khoảng cách giữa các hàng phương án của #tn, giữa các ý của #ds, giữa các item của cot-item, và khoảng cách từ đề xuống phương án — trước đây nó không với tới những chỗ đó (chúng nằm trong ô của grid hoặc là khoảng trắng cố định, không phải khoảng cách dòng). Hệ số 1.0 vẫn cho đúng số cũ nên bài cũ không đổi bố cục.

Lưu ý về vai trò: từ khi có cao-that (mục dưới), gian-dong không còn là thứ để chữa dính chữ — chữ dính đã được lib tự lo. gian-dong nay chỉ để làm cả bài thoáng hơn hoặc chặt lại theo ý người soạn.

File thử: thu-gian-dong.typ.

Chiều cao thật của công thức trong dòng — `cao-that`

Typst đóng khung công thức trong dòng theo số đo phông chữ (cap-height → đường chân chữ) chứ không theo nét vẽ: measure($1/2$) và measure($0,5$) cho cùng một chiều cao, trong khi phân số vẽ ra cao gần gấp đôi và tràn cả trên lẫn dưới khung. Vì thế phân số hay dính vào dòng trên, và trong ô của grid (phương án #tn, ý #ds, cot-item) thì đè hẳn sang hàng trên — gian-dong không chữa được vì nó chỉ chạm khoảng cách dòng.

Lib so nét vẽ thật với nét chữ thường (chữ thường cũng tràn khỏi khung mà không ai kêu, vì leading đã chừa chỗ), rồi chèn một cột chống vô hình rộng 0pt đúng bằng phần còn thiếu. Dòng và ô tự nới đúng chỗ cần; chữ thường và công thức thấp ( $x$ , $0,5$ ) không đổi một pt nào. Cơ chế bật sẵn trong bai-giang và de-toan, và đúng cả khi tài liệu bật kiểu LaTeX #show math.equation.where(block: false): it => math.display(it) (phân số to đẹp — cũng chính là cách viết làm dính chữ nặng nhất).

#cao-that(false)          // tắt từ đây trở đi
#cao-that()               // bật lại
#cao-that(them: 1pt)      // nới thêm 1pt mỗi phía cho công thức có tràn
#kieu-cau-hoi(cao-that: false)   // tắt cho cả bài, khai cùng chỗ mau/hinh

// Tài liệu KHÔNG đi qua bai-giang/de-toan thì áp cho một khối:
#voi-cao-that[
  Giá trị $11 pi/3$ và $17 pi/4$ trên hai dòng liền nhau. \
  Dòng này không còn chạm vào dòng trên.
]

Nhờ nó mà gian-dong để 1.0 là đủ; chỉ dùng gian-dong khi muốn cả bài thoáng hơn, chứ không phải để chữa dính chữ nữa.

File thử: thu-cao-that.typ; bảng số đo đối chiếu: thu-cao-that-chan-doan.typ.

Kết thúc đề & bảng đáp án (`#het`, `#bang-dap-an`)

Hai hàm này CHỈ dựng ở bản in A4 (dethi/loigiai); ở beamer tự bỏ qua (không sinh slide thừa). Đặt ở CUỐI file, sau câu cuối cùng:

#het()                       // dòng "––––– HẾT –––––" + 2 dòng ghi chú (căn giữa)
#het(chu: [THE END],         // tuỳ chỉnh chữ giữa
  ghi-chu: [Không được dùng tài liệu.])   // ghi-chu: none = ẩn 2 dòng dưới

#bang-dap-an()               // 3 bảng đáp án: tn (1.C 2.A…), ds (Đ/S vòng tròn),
                             //   tln (mỗi ký tự một ô, như phiếu TLN)

#bang-dap-an tự thu thập đáp án MỌI câu tn/ds/tln trong tài liệu (kể cả form cũ dap-an: lẫn form mới True(...)) — không cần khai báo lại; mỗi loại đánh số 1..n độc lập theo thứ tự xuất hiện. Tham số:

ma-de: auto (mặc định) = tự lấy mã đề khai ở de-toan(ma-de: …) nên gọi #bang-dap-an() là đủ, luôn đồng bộ; none = tiêu đề “BẢNG ĐÁP ÁN” (không mã đề); hoặc giá trị cụ thể để ghi đè.
tieu-de: auto (theo ma-de) | nội dung tuỳ ý | none (ẩn tiêu đề).
so-o-tln: số ô mỗi đáp án trả lời ngắn (mặc định 4; tự nới nếu đáp án dài hơn).
ngat-trang: true (mặc định) = sang trang mới trước bảng.

Đáp án tln truyền dạng chuỗi ("60,7"), số, hoặc nội dung ([1160]) đều được — hàm tự tách thành từng ký tự để điền vào ô; nếu không tách được thì in nguyên nội dung vào một ô. Để in bảng có điều kiện, bọc trong #if: #if muon-in-dap-an { bang-dap-an(ma-de: ma-de) }.

Chia cột phần câu hỏi — `#chia-2-cot`, `#chia-2-cot-lech` (08/2026)

Hai lệnh bố cục dùng như show-rule: đặt ở đâu thì áp dụng từ dòng đó trở xuống, đúng lối #show: de-toan.with(...) đã quen.

#show: de-toan.with(ho-so: ho-so, tieu-de: [ĐỀ KIỂM TRA])

#show: chia-2-cot            // từ đây trở xuống: câu hỏi xếp 2 cột ĐỀU nhau
#show: chia-2-cot-lech       // hoặc: trái = câu hỏi, phải = chỗ HS làm bài

#chia-2-cot(so: 2, khoang: 18pt, can: true) — chia phần câu hỏi thành hai cột bằng nhau (đặt so: 3 nếu muốn ba cột), chữ chảy từ cột trái sang cột phải. Hai cột được tự cân bằng chiều cao (can: false để tắt): Typst vốn rót đầy cột 1 tới hết chiều cao trang rồi mới sang cột 2, nên đề ngắn sẽ nằm gọn một cột và cột 2 để trống — thư viện tự chèn dấu ngắt cột để hai bên đều nhau.

#chia-2-cot-lech(...) — cột trái chứa câu hỏi, cột phải để trống có hàng kẻ ngang mờ cho học sinh làm bài (kèm vạch dọc mờ ngăn hai cột). Số hàng kẻ tự tính theo chiều cao thật của phần câu hỏi nên không thừa/thiếu giấy.

Tham số	Mặc định	Ý nghĩa
`rong-trai`	`70%`	bề rộng cột trái — nhận tỉ lệ (`60%`) hoặc độ dài (`11cm`)
`khoang`	`10pt`	khe giữa hai cột
`cao-dong`	`9mm`	khoảng cách giữa hai hàng kẻ
`mau` / `day`	`luma(65%)` / `0.4pt`	màu và độ dày hàng kẻ
`ke`	`true`	`false` = cột phải trắng trơn (không kẻ dòng)
`vach-ngan`	`true`	vạch dọc mờ ngăn hai cột
`tieu-de-phai`	`none`	vd `[Bài làm]` — in nhạt ở đầu cột phải

Ngừng chia cột bằng #thoi-cot(): phần sau dấu này trở lại nguyên khổ giấy. Bắt buộc đặt #thoi-cot() trước #het()/#bang-dap-an() — hàm #bang-dap-an có #pagebreak mà lệnh ngắt trang không chạy được bên trong cột.

#show: chia-2-cot-lech.with(rong-trai: 65%, tieu-de-phai: [Bài làm])
#tl([Giải phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$.])
#tl([Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 3x + 1$.])
#thoi-cot()          // trở lại nguyên khổ giấy
#het()
#bang-dap-an()

Cả hai lệnh cũng dùng được dạng khối cho một đoạn: #chia-2-cot[ ... ], #chia-2-cot-lech(rong-trai: 55%)[ ... ].

Ghi chú: hai lệnh chỉ tác dụng ở bản in A4 (dethi/loigiai); bản trình chiếu beamer tự bỏ qua (mỗi câu vốn đã là một slide riêng). Khi bật hoán vị (trộn đề), các câu nằm trong cột vẫn được trộn bình thường và bản dethi với bản loigiai vẫn trộn giống hệt nhau. File thử: thu-chia-cot.typ.

Kẻ dòng lấp đầy trang — `#ke-het-trang` (08/2026)

Đặt ở đâu thì kẻ dòng từ chỗ đó xuống hết trang đó — số dòng tự tính theo chỗ trống còn lại, không phải đếm tay.

#ke-het-trang()                              // nét chấm, cách 9mm
#ke-het-trang(cao-dong: 7mm, kieu: none)     // nét liền, dòng dày hơn
#ke-het-trang(chua: 3cm)                     // chừa 3cm cuối trang
#ke-het-trang(dai: 50%, them-trang: 1)       // nửa bề ngang + kẻ trọn 1 trang nữa

Tham số	Mặc định	Ý nghĩa
`cao-dong`	`9mm`	khoảng cách giữa hai dòng kẻ
`mau` / `day`	`luma(65%)` / `0.4pt`	màu và độ dày nét
`kieu`	`"dotted"`	`"dashed"`, `"dash-dotted"`, hoặc `none` = nét liền
`dai`	`100%`	bề dài dòng kẻ (`50%` = nửa bề ngang)
`chua`	`0pt`	chừa thêm khoảng trắng ở đáy trang
`them-trang`	`0`	kẻ thêm bấy nhiêu trang đầy nữa sau trang hiện tại
`le-tren` / `le-duoi`	`auto`	tự đọc từ lề trang; chỉ đặt tay khi lề khai kiểu lạ

Chỉ dựng ở bản in A4 (dethi/loigiai); bản beamer tự bỏ qua. File thử: thu-ke-het-trang.typ.

Hoán vị — trộn đề (08/2026)

Bật một công tắc ở đầu file là trộn được đề: thứ tự câu và thứ tự phương án tự đảo, đáp án + bảng đáp án tự chạy theo.

#let ho-so = sys.inputs.at("ho-so", default: "dethi")
#let hoan-vi = false        // <- ĐỔI THÀNH true LÀ TRỘN (mặc định false)

#show: de-toan.with(ho-so: ho-so, ma-de: "0101", hoan-vi: hoan-vi)

Nguyên tắc:

Hoán vị các câu trong cùng một nhóm thể loại: nhóm tn xáo với nhau, nhóm ds xáo với nhau, nhóm tln xáo với nhau. Câu tl giữ nguyên thứ tự.
“Nhóm” = dãy câu cùng loại đứng liền nhau (chỉ cách nhau bằng dòng trống). Gặp #phan, một đoạn văn xen giữa hay một câu khác loại là hết nhóm ⇒ câu không bao giờ nhảy qua tiêu đề phần.
Hoán vị 4 phương án A/B/C/D của câu tn. Các ý a/b/c/d của câu ds giữ nguyên, không hoán vị (ý sau thường dựa vào ý trước).
Chỉ chạy ở bản in A4 (dethi / loigiai); trình chiếu beamer không trộn.

Tham số của `de-toan`	Ý nghĩa
`hoan-vi: false`	mặc định — giữ nguyên thứ tự soạn
`hoan-vi: true`	trộn cả thứ tự câu lẫn phương án
`hoan-vi: "cau"`	chỉ trộn thứ tự câu
`hoan-vi: "pa"`	chỉ trộn phương án
`mam: auto`	mã trộn — `auto` băm từ `ma-de`, nên `0101` và `0102` tự cho hai thứ tự khác nhau; hoặc đặt tay `mam: 7`

Bộ trộn là tất định (LCG có mầm, không dùng ngẫu nhiên thật): cùng một mầm luôn cho cùng một thứ tự, nên bản dethi và bản loigiai biên dịch hai lần vẫn trộn giống hệt nhau — bảng đáp án luôn khớp.

typst compile --input ho-so=dethi   de-mau.typ de-0101.pdf
typst compile --input ho-so=loigiai de-mau.typ dapan-0101.pdf   # cùng thứ tự

Muốn ra nhiều mã đề từ MỘT file: đọc mã đề qua sys.inputs rồi đổi lúc biên dịch.

#let ma = sys.inputs.at("ma", default: "0101")
#show: de-toan.with(ho-so: ho-so, ma-de: ma, hoan-vi: true)

Hai điều phải nhớ:

Câu tn viết theo form cũ dap-an: "B" (đáp án là chữ cái) không được trộn phương án — trộn sẽ lệch. Muốn trộn thì bọc phương án đúng bằng True(...). Lib tự kiểm: câu nào không có True(...) thì bỏ qua, không xáo.
khoa-pa: true ở một câu tn ⇒ riêng câu đó giữ nguyên thứ tự phương án (dùng cho câu kiểu “Cả A, B, C đều đúng”).

Tài liệu nào không đi qua de-toan thì dùng show-rule riêng: #show: hoan-vi-de.with(true) (hoặc .with(true, mam: "0102")).

File thử: thu-hoan-vi.typ.

Form mới của tn/ds/tln — đáp án gắn liền nội dung (khuyến nghị)

Đáp án đúng bọc True(...) (bí danh Dung(...)) ngay trong danh sách, nên hoán vị phương án không bao giờ lệch đáp án — nền tảng cho việc xáo trộn tạo mã đề. Form cũ (dap-an:, hinh:, loi-giai:, cot:) vẫn dùng được song song.

#tn(
  [Nội dung đề bài],
  ( [$A$], True([$B$]), [$C$], [$D$] ),   // đáp án đúng bọc True(...)
  loigiai: [Lời giải chi tiết],
  // Tuỳ chọn:
  fig: none, fig-pos: "right", fig-width: 35%,  // hình: vị trí right/left/top/bottom,
                                                // bề rộng cột hình (auto = ôm hình)
  cols: 0,           // 0 = tự chia cột; 1/2/4 = cố định
  lines: 0,          // số dòng chừa làm bài (chỉ bản in đề)
  num: auto,         // auto = đánh số tự động; số cụ thể = ghi đè (không tăng bộ đếm)
  prefix: "Câu",     // chữ trên thẻ đầu câu
  boxed: false,      // true = đóng khung cả câu
)

#ds(
  [Thân câu chung — nêu tình huống / bài toán],
  (
    [Phát biểu a — SAI],
    True([Phát biểu b — ĐÚNG]),
    True([Phát biểu c — ĐÚNG]),
    [Phát biểu d — SAI],
  ),
  loigiai: [Phân tích từng ý.],
)

#tln(
  [Nội dung đề bài],
  [$6$],                            // đáp án đặt NGAY SAU đề
  loigiai: [Lời giải.],
  show-boxes: true, box-count: 4,   // ô điền trên phiếu (bản in đề)
)

loigiai:/fig: cũng dùng được cho #vd/#tl/#hd/#lt/#vdtt (bí danh của loi-giai:/hinh:).

Lời giải gắn từng ý của `#ds` — an toàn khi trộn đề hoán vị ý

Khối loigiai: viết cứng “a) … b) … c) … d) …” sẽ sai nếu công cụ trộn xáo thứ tự các ý. Đặt lời giải ngay cạnh ý bằng giai: thì lời giải đi theo ý, và nhãn a) b) c) d) được đánh lại theo thứ tự sau hoán vị:

#ds([Cho hàm số $y = x^3 - 3x$.],
  (
    True([$y' = 3x^2 - 3$], giai: [Đạo hàm của $x^n$ là $n x^(n-1)$.]),
    False([Hàm số không có cực trị], giai: [$y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.]),
    True([Đồ thị nhận điểm uốn $I(0; 0)$ làm tâm đối xứng]),  // không cần giải riêng
    [Hàm số đồng biến trên $RR$],                              // ý sai, viết trần
  ),
)

True(nd, giai: ...) — ý ĐÚNG; False(nd, giai: ...) — ý SAI có lời giải.
Ý sai không cần lời giải thì viết trần [...] như cũ; giai: là tuỳ chọn, ý nào không khai thì phần lời giải bỏ qua ý đó.
Dùng chung với loigiai: được: phần chung in trước làm dẫn nhập (tập xác định, đạo hàm…), rồi mới tới phần theo từng ý.
khoa-y: true (và khoa-pa: true cho #tn) đánh dấu câu không được hoán vị — dùng khi ý sau dựa vào kết quả ý trước, hoặc có phương án kiểu “Cả A và B đều đúng”. Cờ này được ghi vào metadata <bg-da> để công cụ trộn đọc.

Form cũ (khối loigiai: chung, ý bọc True(...) không có giai:) vẫn chạy nguyên vẹn — giai:/False/khoa-y chỉ là bổ sung. File thử: thu-ds-giai.typ.

Hình ở LỜI GIẢI và trong PHƯƠNG ÁN/Ý (mọi dạng câu)

Hình không chỉ đặt ở đề bài — cả 8 dạng (vd/tn/ds/tln/tl/hd/lt/vdtt) đều nhận thêm:

fig-giai: do-thi-ham(...),   // hình kèm LỜI GIẢI (bí danh: hinh-giai)
fig-giai-pos: "right",       // right | left | top | bottom
fig-giai-width: auto,        // auto = ôm hình; hoặc 35%, 5cm...

Bố cục 2 cột giống hình kèm đề; ở beamer hình hiện cùng bước đầu tiên của lời giải. Màn #sang-man sau muốn có hình thì chèn thẳng trong nội dung màn.

Hình trong PHƯƠNG ÁN (tn) hoặc Ý (ds): phương án là content nên nhúng trực tiếp, thường kèm cols: cố định:

#tn([Đồ thị nào là của $y = x^2$?], (
  [#do-thi-ham(x => x*x*x, w: 3.2cm)],
  True([#do-thi-ham(x => x*x, w: 3.2cm)]),
  [#do-thi-ham(x => -x*x, w: 3.2cm)],
  [#do-thi-ham(x => 2*x, w: 3.2cm)],
), cols: 4, loigiai: [Đồ thị hàm bậc hai $y = x^2$ có đỉnh tại gốc toạ độ, bề lõm hướng lên.])

11. Giao diện câu hỏi (theme tiền tố)

Thẻ “Câu X” và thẻ phương án “A.”, ý “a)” dùng chung một màu và một hình dáng; đổi một lệnh là đồng bộ toàn bài (đặt đầu file, hoặc giữa chừng để đổi từ vị trí đó):

#kieu-cau-hoi(mau: rgb("#e67e22"), hinh: "luc-giac", hien-o: true)
// hinh: "bo-tron" (mặc định) | "chu-nhat" | "luc-giac" | "khong-to"
//   "khong-to": không tô nền, chỉ viền + chữ màu (tiết kiệm mực);
//   riêng hồ sơ DETHI: bỏ luôn viền — "Câu 1." / "A." (ý ds: "a)")
//   in đậm cùng màu, dấu liền kề (kiểu LaTeX).
// hien-o: false = ẩn ô tick Đ/S (ds có o-tick) và ô điền "Trả lời" (tln)
//   đồng bộ toàn bài — dùng khi HS làm thẳng vào phiếu trả lời.
// om-hinh: false = TẮT chế độ chữ ôm hình (xem ngay dưới), quay về lối
//   2 cột cũ từ vị trí này trở đi.
// eq-trong-dong: false = giữ nguyên công thức khối `$ ... $` trong phương án
//   (xem ngay dưới); mặc định true = ép thành công thức trong dòng.

Công thức trong phương án luôn nằm TRONG DÒNG (mặc định BẬT)

Viết $ cases(x > 0, y > 0, x + y < 3) $ (có khoảng trắng sát hai dấu $) là công thức trình bày giữa dòng: Typst tách nó xuống dòng riêng và canh giữa, nên hệ 3 bất phương trình trông khác hẳn hệ 2 bất phương trình viết $cases(...)$ . Từ 08/2026 thư viện tự ép mọi công thức khối trong phương án #tn và ý #ds về dạng trong dòng, nên hai lối viết cho ra cùng một bố cục — khỏi phải sửa tay từng file do AI sinh ra.

Chỉ đụng tới công thức toán; phương án là hình, bảng, danh sách… giữ nguyên.
Vì công thức không còn là “khối”, dấu chấm cuối phương án cũng được thêm như các phương án chữ (xem cham-cuoi).
Số cột cot: auto đo theo bề rộng TRONG DÒNG ⇒ hệ 3 bpt thường xếp đủ 4 cột.
Tắt toàn bài: #kieu-cau-hoi(eq-trong-dong: false); tắt một câu: #tn(..., trong-dong: false) / #ds(..., trong-dong: false).

File thử: thu-eq-trong-dong.typ.

Chữ ôm hình (mặc định BẬT)

Hình đặt bên phải/trái mà lời giải dài hơn hình thì cột hình sẽ trống một khoảng lớn phía dưới. Từ 08/2026 thư viện tự chữa: đo chiều cao hình, đặt vừa đủ các đoạn đầu cạnh hình, phần còn lại tràn nguyên bề rộng xuống dưới hình — không phải khai báo gì thêm.

Chỗ cắt luôn rơi vào ranh giới đoạn văn / công thức tách dòng / bảng / danh sách, nên không bao giờ cắt ngang một công thức.
Công thức tách dòng quá rộng so với cột hẹp sẽ được đẩy xuống phần dưới (tràn hết bề rộng) thay vì bị bó trong cột.
Nội dung vốn đã thấp hơn hình ⇒ giữ nguyên lối 2 cột canh giữa như cũ.
Tắt: #kieu-cau-hoi(om-hinh: false) (toàn bài hoặc một đoạn), hoặc voi-hinh(..., om: false) khi gọi trực tiếp.

File thử: thu-om-hinh.typ.

MC tự chia cột: mặc định cot: auto — đo phương án dài nhất rồi tự chọn 4 / 2 / 1 cột; vẫn ép được cot: 2.
TF hai kiểu: mặc định nhãn Đ/S hiện sau mỗi ý; thêm o-tick: true để có 2 ô vuông Đ | S dóng thẳng hàng sát lề phải (bản đề thi: ô trống cho học sinh tick; bản đáp án/trình chiếu: tự tick ✓ xanh/đỏ).

Tự thêm dấu chấm cuối phương án / ý hỏi (07/2026)

Phương án của #tn và ý của #ds là một CÂU nên phải kết bằng dấu chấm. Thư viện tự dò và thêm . khi còn thiếu (bật sẵn), gõ nhanh không cần nhớ:

#tn([...], ([$(-oo; 0)$], True([$(-oo; -2)$]), [$(-2; 0)$], [$(-2; +oo)$]))
// in ra:  A (−∞; 0).   B (−∞; −2).   C (−2; 0).   D (−2; +∞).

Quy tắc dò (duyệt ngược nội dung, tìm ký tự có nghĩa cuối cùng):

đã kết bằng . ! ? … : ; → giữ nguyên, kể cả khi có dấu nháy/ngoặc bọc ngoài: "đúng rồi!", (đã có chấm.);
kết bằng khối — danh sách -/+, bảng, hình, \ xuống dòng, công thức trình bày giữa dòng $ ... $ → bỏ qua (dấu chấm sẽ rơi xuống dòng);
còn lại (chữ, số, công thức trong dòng, dấu ngoặc đóng) → thêm .

Tắt/bật:

#kieu-cau-hoi(cham-cuoi: false)          // tắt toàn bài (từ vị trí này)
#tn([Đề bài], ([A], True([B]), [C], [D]), cham: false)   // tắt riêng một câu
#ds([Đề bài], ([ý a], True([ý b])), cham: true)          // ép bật riêng một câu

File thử: thu-cham-cau.typ (đủ 5 nhóm ca).

`#cot-item` — không đánh chồng nhãn a), b) (07/2026)

#cot-item TỰ đánh nhãn a), b), c)… nên không cần gõ tay. Nhưng nếu nội dung đã có sẵn nhãn (thường gặp khi chép từ SGK hoặc để AI sinh bài), thư viện tự nhận ra và bỏ nhãn tự động ở đúng item đó — hết cảnh a) a) Phải quay kim phút….

#cot-item([Phải quay…], [Có bao nhiêu…])          // in: a) Phải quay…  b) Có bao nhiêu…
#cot-item([a) Phải quay…], [b) Có bao nhiêu…])    // in: a) Phải quay…  b) Có bao nhiêu…

Nhãn được nhận: a) a. a: A) (a) [b] 1) 1. (2) ii) IV. (chữ cái đơn, số ≤ 99, số La Mã ≤ xii; sau dấu . hoặc : phải có khoảng trắng). Quy tắc quyết định:

mọi item đều có nhãn tay → bỏ hết nhãn tự động (kể cả khi đánh tiếp d) e) f) cho phần sau);
chỉ một vài item có nhãn tay → chỉ bỏ ở item mà nhãn tay đúng thứ tự của nó, các item còn lại vẫn được đánh (tránh nhận nhầm câu mở đầu kiểu A. B. C thẳng hàng);
không nhận nhầm 0.5 lít nước, 12:30, $x^2 - 3x = 0$ , Cho tam giác….

Ép đánh nhãn dù item đã có sẵn: #cot-item(..., do-nhan-tay: false); bỏ hẳn nhãn: kieu-nhan: none. File thử: thu-cot-item.typ (8 nhóm ca).

Mẹo

Font: mặc định ("Charis SIL", "Noto Serif", "Libertinus Serif", "Times New Roman"). Cần CÀI Charis SIL (miễn phí: software.sil.org/charis) — chưa cài thì tự rơi về font sau trong danh sách. Lý do: dấu CHỒNG tiếng Việt (Ể Ổ Ữ Ẩ Ấ Ộ). Libertinus/Times vẽ dấu hỏi nhỏ, nằm NGANG cạnh dấu mũ → nhìn như mất dấu. Noto Serif ổn ở chữ thường nhưng với chữ HOA (tiêu đề đề thi viết hoa toàn bộ) vẫn thu nhỏ dấu hỏi và đẩy lệch sang phải. Charis SIL do SIL thiết kế cho ngôn ngữ nhiều dấu chồng, giữ dấu nguyên cỡ + chồng thẳng ở CẢ chữ hoa lẫn chữ thường. Đổi font: #show: bai-giang.with(phong: ("Noto Serif",)). Bề rộng Charis SIL ≈ Libertinus nên số trang không đổi (Noto Serif rộng hơn ~2%, bài dài có thể trôi thêm 1 trang).
Xuất PowerPoint không hỗ trợ; trình chiếu trực tiếp file PDF (PDF reader chế độ full screen, hoặc trình chiếu bằng Sumatra/Okular).
Mỗi hàm vẽ đều có mau, day (độ dày), dut (nét đứt) để tuỳ biến.

Giá trị cực trị dạng căn thức (07/2026)

BBT và lời giải khảo sát (bbt-bac-ba, bbt-trung-phuong, bbt-huu-ti, khao-sat-ve-do-thi-ham-*) nay hiển thị CẢ GIÁ TRỊ cực trị dạng chính xác (căn thức/phân số) thay vì số thập phân — ví dụ y = x³ − 4x² − x + 6 cho x = (4 ± √19)/3 và y = (−2 ∓ 38√19)/27. Tính thẳng từ hệ số (không nhận dạng số thập phân) nên đúng với mọi mẫu số lớn:

so-can-thuc(P, K, n, Q) (do-thi.typ): in (P + K√n)/Q đã rút gọn (gcd, rút thừa số chính phương √96 → 4√6, chuẩn hoá n hữu tỉ √(2/3) → √6/3); hệ số không “đẹp” thì tự rơi về so-toan như cũ.
cuc-tri-bac-ba(a, b, c, d) / cuc-tri-huu-ti(a, b, c, d, e): trả (x1:, y1:, x2:, y2:) chính xác (x1 < x2) — dùng thẳng trong bài soạn.

Cập nhật: nhãn trên ĐỒ THỊ cũng chính xác như vậy. Đường gióng cực trị, đỉnh parabol, điểm uốn, tâm đối xứng, tiệm cận và giao Ox của do-thi-bac-hai, do-thi-bac-ba, do-thi-trung-phuong, do-thi-huu-ti, do-thi-phan-thuc lấy nhãn thẳng từ hệ số (hết cảnh 10.48 — nay là 283/27). Muốn ghi khác thì vẫn đặt cuc-tri: (ten-x: .., ten-y: ..). Ngoài ra so-toan nhận thêm phân số mẫu lớn (tới 400, khớp chặt 1e-9) nên các giá trị như 283/27, −13/12 hiện đúng ở mọi chỗ.

Trục số, conic, côtang & hình lục giác/chóp cụt (07/2026)

Trục số — biểu diễn đoạn/khoảng (`truc-so`)

Vẽ một hoặc NHIỀU đoạn/khoảng/nửa khoảng trên cùng một trục. Mỗi khoảng là một tuple (a, b, kieu) (hoặc thêm màu: (a, b, kieu, mau)):

a, b: số, hoặc "-oo" / "+oo" cho vô cực (a < b).
kieu: chuỗi 2 kí tự đầu mút — "[]" đoạn, "()" khoảng, "[)" / "(]" nửa khoảng. [ ] = lấy đầu mút, ( ) = không lấy.

Mặc định GẠCH CHÉO phần loại bỏ (bù của hợp các khoảng) đúng kiểu SGK, kèm ngoặc tại đầu mút.

#truc-so((-2, 3, "[)"))                      // [−2; 3)
#truc-so((-2, 1, "()"), (3, "+oo", "[)"))    // hai khoảng, +∞
#truc-so(("-oo", 0, "(]"), (2, 5, "[]"), dau: "cham")  // chấm đặc/rỗng

Tham số: w, h (1.5cm — chiều cao khung cố định trên trang), min/max (auto), ten (nhãn trục, mặc định $x$ ), mau, gach/mau-gach, cao-gach (2mm — chiều cao dải gạch chéo trên trang), dau: "ngoac" | "cham", moc-phu: (ghi thêm số), so, co-chu (13pt — cỡ chữ số tại mốc).

Conic: hyperbol & parabol

hyperbol(a, b) — vẽ x²/a² − y²/b² = 1; kèm sẵn 2 tiệm cận y = ±(b/a)x (nét đứt), đỉnh A₁A₂, tiêu điểm F₁F₂ (c = √(a²+b²)). Tắt phần phụ bằng tiem-can: false, dinh: false, tieu-diem: false; đổi tên qua ten-dinh, ten-tieu.
parabol(p) — vẽ y² = 2px (p > 0 mở phải, p < 0 mở trái); kèm đỉnh O, tiêu điểm F(p/2; 0), đường chuẩn Δ: x = −p/2 (nét đứt). Tắt qua tieu-diem: false, duong-chuan: false.
duong-elip(a, b) — vẽ x²/a² + y²/b² = 1 (nhập 2 bán trục như hyperbol); kèm 4 đỉnh A₁A₂B₁B₂ và 2 tiêu điểm trên trục lớn (a ≥ b: F(±c; 0); b > a: F(0; ±c), c = √|a²−b²|); a = b cho đường tròn. Tên là duong-elip (không phải elip — elip là hàm vẽ elip cơ bản trong ve.typ).

#duong-elip(4, 2.5)   // elip nằm ngang, tiêu điểm trên Ox
#duong-elip(2, 3.2)   // elip đứng, tiêu điểm trên Oy

Nhãn tên hàm nay có nền trắng nên đường cong không xuyên qua; vị trí nhãn (goc-ten: auto) tự né đồ thị. Cơ số mũ/lôgarit hiển thị số đẹp (phân số, căn): #do-thi-mu(1/3) → y = (1/3)^x, #do-thi-log(1/3) → y = log_(1/3) x.

#hyperbol(3, 2)     // x²/9 − y²/4 = 1
#parabol(2)         // y² = 4x
#parabol(-1.5)      // y² = −3x (mở trái)

Đồ thị côtang (`do-thi-cot`)

#do-thi-cot() — y = cot x, tiệm cận đứng tại x = kπ (nét đứt tại ±π, riêng x = 0 trùng trục Oy). Cùng bộ tham số như do-thi-tan (w, mau, ten, goc-ten, luoi-o, them). (do-thi-mu, do-thi-log đã có sẵn cho y = aˣ, y = logₐx.)

Hình lục giác đều & chóp cụt đều

Nét khuất (đáy sau, cạnh bên/đứng tới đỉnh sau) TỰ vẽ đứt theo hình chiếu.

hinh-chop-luc-giac-deu() — chóp lục giác đều S.ABCDEF, có đường cao SO.
hinh-lang-tru-luc-giac-deu() — lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F'.
hinh-chop-cut-deu(n: 3 | 4 | 6) — chóp cụt đều tam/tứ/lục giác. R bán kính đáy dưới, r đáy trên, cao chiều cao; truc: true vẽ trục OO'. Tên đỉnh tự sinh (A, B, … cho đáy dưới; phẩy cho đáy trên) hoặc truyền ten: là mảng 2n nội dung.
Bí danh gọn (cùng bộ tham số): hinh-chop-cut-tam-giac-deu() (ABC.A’B’C’), hinh-chop-cut-tu-giac-deu() (ABCD.A’B’C’D’), hinh-chop-cut-luc-giac-deu() (tên gốc, n: 6 mặc định).

#hinh-chop-luc-giac-deu(w: 6.5cm)
#hinh-lang-tru-luc-giac-deu(w: 6.5cm)
#hinh-chop-cut-tam-giac-deu()
#hinh-chop-cut-tu-giac-deu(truc: true)
#hinh-chop-cut-deu(n: 6)

Bảng tần số & biểu đồ thống kê (bang-thong-ke.typ + bieu-do-thong-ke.typ)

Dữ liệu vào của bảng và biểu đồ KHỚP NHAU: cùng moc: (n+1 mốc số → n nhóm) và tan-so: — một nguồn số liệu dùng cho cả bảng lẫn biểu đồ. Mọi biểu đồ đều có them: ctx => ... để vẽ chồng như các hình khác.

// 4 bảng tần số bố cục NGANG đúng SGK (don-vi: hiện «tên (đơn vị)» ô góc)
#bang-tan-so(gia-tri: (0, 1, 2, 3), tan-so: (4, 3, 4, 7), ten-gia-tri: [Số con])
#bang-ghep-nhom(moc: (150, 155, 160, 165, 170, 175), tan-so: (5, 12, 18, 9, 4),
  ten-nhom: [Chiều cao], don-vi: [cm])
// (kèm bang-tan-so-doi / bang-ghep-nhom-doi cho 2 dòng tần số)

// HISTOGRAM — cột dính sát nhau (tần số ghép nhóm, Toán 11–12)
#bieu-do-tan-so(moc: (150, 155, 160, 165, 170, 175), tan-so: (5, 12, 18, 9, 4),
  ten-x: [Chiều cao (cm)])
#bieu-do-tan-so(moc: (150, 155, 160, 165, 170, 175), tan-so: (5, 12, 18, 9, 4),
  gap-khuc: true)  // + gấp khúc tần số chồng lên

// ĐƯỜNG GẤP KHÚC TẦN SỐ đứng riêng (nối trung điểm, kéo dài về 0 hai đầu)
#da-giac-tan-so(moc: (150, 155, 160, 165, 170, 175), tan-so: (5, 12, 18, 9, 4),
  keo-dai: true)

// BIỂU ĐỒ CỘT RỜI — giá trị rời rạc: số (đặt đúng hoành độ) hoặc chữ
#bieu-do-cot(gia-tri: (0, 1, 2, 3, 4), tan-so: (4, 9, 13, 6, 2), ten-x: [Số con])
#bieu-do-cot(gia-tri: ([Đỏ], [Xanh], [Vàng]), tan-so: (10, 7, 5))

// BIỂU ĐỒ HỘP (box plot) — tứ phân vị Toán 10, gióng nét đứt xuống trục số
#bieu-do-hop(du-lieu: (3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), ten: [Điểm])  // tự tính
#bieu-do-hop(tom-tat: (150, 158, 163, 168, 175))  // (min, Q1, Q2, Q3, max)

// BIỂU ĐỒ QUẠT TRÒN — chia góc theo %, bắt đầu 12 giờ, chiều kim đồng hồ
#bieu-do-quat(([Đi bộ], 25), ([Xe đạp], 30), ([Xe máy], 35), ([Khác], 10))

Tham số chung biểu đồ cột/gấp khúc: w, h, mau, vien, ten-x/ten-y, so-dinh (số trên đỉnh cột), so-truc, buoc-y (auto = bước đẹp 1/2/5·10ᵏ), luoi-ngang (lưới ngang mờ), co-chu, them. Quạt: mỗi mục (tên, số) hoặc (tên, số, màu); phan-tram: true ghi % trong quạt (quạt < 8% ghi gộp bên ngoài).

Hai hàm TRẢ GIÁ TRỊ (không vẽ, dùng thẳng trong lời giải):

tu-phan-vi(du-lieu) → (min:, q1:, q2:, q3:, max:) — SGK Toán 10 (n lẻ KHÔNG kể Q₂ vào hai nửa).
tu-phan-vi-ghep-nhom(moc, tan-so) → (q1:, q2:, q3:) — nội suy SGK Toán 11.

Số đặc trưng mẫu số liệu (bieu-do-thong-ke.typ)

Tất cả TRẢ GIÁ TRỊ (không vẽ) — dùng thẳng trong lời giải, in đẹp bằng so-toan/so-dep. KHÔNG ghép nhóm nhận mảng thô HOẶC gia-tri + tan-so: (bảng tần số); GHÉP NHÓM nhận (moc, tan-so) như biểu đồ.

// KHÔNG ghép nhóm — thô hoặc bảng tần số (thêm tan-so:)
#so-trung-binh((1, 2, 2, 3))            // 2
#so-trung-binh((0, 1, 2), tan-so: (4, 3, 4))
#mot((1, 1, 2, 3))                      // MẢNG các mốt: (1,) — có thể nhiều mốt
#trung-vi(d)      #tu-phan-vi(d)        // tu-phan-vi -> (min:, q1:, q2:, q3:, max:)
#phuong-sai(d)    #do-lech-chuan(d)     // s² chia n; hieu-chinh: true -> chia n−1
#khoang-bien-thien(d)  #khoang-tu-phan-vi(d)

// GHÉP NHÓM — trung bình/phương sai theo giá trị đại diện, còn lại nội suy SGK
#so-trung-binh-ghep-nhom(moc, tan-so)   #mot-ghep-nhom(moc, tan-so)
#trung-vi-ghep-nhom(moc, tan-so)        #tu-phan-vi-ghep-nhom(moc, tan-so)
#phuong-sai-ghep-nhom(moc, tan-so)      #do-lech-chuan-ghep-nhom(moc, tan-so)
#khoang-bien-thien-ghep-nhom(moc, tan-so)  // mốc phải nhóm cuối − mốc trái nhóm đầu CÓ dữ liệu
#khoang-tu-phan-vi-ghep-nhom(moc, tan-so)

Nón & trụ có NÉT KHUẤT TỰ ĐỘNG — kể cả hai khối che nhau (08/2026)

lib/mat-cong.typ bổ khuyết cho da-dien.typ: engine đa diện chỉ lo được khối đa diện LỒI và KHÔNG xử lý được hai khối che nhau. Ở đây dùng một cơ chế duy nhất cho cả hai việc — bắn tia từ điểm đang xét về phía người nhìn, tia gặp lòng bất kì khối nào (kể cả chính nó) thì đoạn đó vẽ NÉT ĐỨT.

// nón có trục là một đường sinh của trụ — đường sinh nón chui vào lòng trụ
// TỰ chuyển sang nét đứt, không phải cắt tay
#mat-cong(
  mat-non(r: 2, cao: 4, mau: red),
  mat-tru(tam: (0, 2, 0), r: 2, cao: 4, mau: blue),
  w: 9cm,
)

#mat-cong(mat-non(r: 2.6, cao: 4), mat-tru(r: 1.1, cao: 2))   // trụ nội tiếp nón
#mat-cong(mat-non(r: 2, cao: 3.6), hien-khuat: false)          // bỏ hẳn nét đứt

Camera MẶC ĐỊNH của engine này là chiếu TRỰC GIAO (chieu-truc-giao(ngang: 15deg, cao: 22deg)), KHÔNG phải chieu-xien như da-dien.typ: khối vẽ ra NGAY NGẮN — elip đáy có trục lớn nằm ngang, trục khối thẳng đứng, đúng lối hình sách giáo khoa, khỏi phải khai cam: gì cả. Muốn lối chiếu xiên cũ thì khai rõ cam: chieu-xien() hoặc cam: chieu-oxyz().

Mô tả khối (TRẢ GIÁ TRỊ): mat-non(tam:, r:, cao:, nghieng:, huong:, truc:, mau:, to:) và mat-tru(...) cùng bộ tham số — tam là tâm mặt đáy, cao đo DỌC TRỤC; mau/to để auto thì lấy theo lệnh vẽ. Tiện ích: dinh-non(k), tron-ngang(tam, r, truc:).

Trục khối đặt nghiêng được. nghieng là góc giữa trục khối và Oz, huong là hướng ngả (đo trong mặt phẳng Oxy); hoặc ghi đè thẳng bằng truc: (a, b, c). Mặt đáy LUÔN vuông góc với trục, nên trục nghiêng thì mặt đáy và đường sinh nghiêng cùng — toàn thân khối nghiêng:

#mat-cong(mat-tru(r: 1.2, cao: 5, nghieng: 55deg, huong: 200deg))  // trụ nằm nghiêng
#mat-cong(mat-non(r: 1.6, cao: 4.5, nghieng: 90deg))               // nón nằm ngang

Mọi công thức trong engine viết theo KHUNG RIÊNG (u, v, w) của khối (w là trục, (u, v) là hai phương trong mặt đáy) nên trục đứng chỉ là trường hợp riêng nghieng: 0deg.

ve-mat-cong(..khoi, cam:, mau:, day:, to:, hien-khuat:, mau-khuat:, day-khuat:, n:, duong:, them:) nhận ctx; mat-cong(...) tự tạo khung hình, mọi tuỳ chọn khác chảy thẳng xuống ve-mat-cong.

Đường vẽ thêm cũng được tự chia liền/đứt — mỗi mục của duong: là một dict:

#mat-cong(
  mat-non(r: 2, cao: 4), mat-tru(tam: (0, 2, 0), r: 2, cao: 4),
  duong: ((pts: tron-ngang((0, 0, 1.6), 1.2), mau: green, day: 0.9pt),),
)

Hệ trục Oxyz nghiêng CÙNG góc với khối — `truc:` / `ve-truc-3d`

oxyz của hinh-khong-gian.typ tự dựng phép chiếu XIÊN riêng. Trong phép chiếu xiên, đường tròn nằm ngang chiếu ra elip NGHIÊNG trong khi Oz vẫn dựng đứng — đáy nghiêng mà trục đứng, nhìn vô lý. Muốn cả khung hình chung MỘT góc nghiêng thì dùng camera TRỰC GIAO thật và vẽ hệ trục bằng chính camera đó:

#let nghieng = 22deg    // góc nhìn từ trên xuống — MỘT biến cho cả khung hình
#let quay = 15deg       // xoay quanh trục đứng, chỉnh cho hai khối tách nhau

#mat-cong(
  mat-non(r: 2, cao: 4), mat-tru(tam: (0, 2, 0), r: 2, cao: 4),
  cam: chieu-truc-giao(ngang: quay, cao: nghieng),
  truc: (x: 2.6, y: 4.4, z: 4.6),        // hệ trục vẽ bằng CHÍNH camera đó
)

Với chieu-truc-giao, elip đáy có trục lớn NẰM NGANG (bán trục bé = sin(nghieng)) và trục khối THẲNG ĐỨNG — đúng như nhìn vật thật. ĐÁNH ĐỔI cần biết: bù lại Ox và Oy đều chếch xuống, không còn Oy nằm ngang như lối vẽ trục quen thuộc. Không thể có đồng thời cả hai — đó là tính chất hình học, không phải lỗi.

ve-truc-3d(cam, x:, y:, z:, am:, dm:, ten:, ten-goc:, huong-ten:, huong-goc:, mau:, day:, cach:) dùng được với BẤT KÌ camera nào (chieu-xien, chieu-oxyz, chieu-truc-giao). ve-mat-cong còn có truoc: (vẽ trước khối) song song với them: (vẽ sau khối).

Nếu vẫn muốn dùng oxyz sẵn có thì k và goc của oxyz PHẢI trùng với chieu-oxyz(k:, goc:), nếu không khối sẽ lệch khỏi hệ trục:

#oxyz(x: 2.6, y: 4.4, z: 4.6, k: 0.7, goc: 30deg, them: (ctx, t3) => {
  ve-mat-cong(ctx, mat-non(r: 2, cao: 4), mat-tru(tam: (0, 2, 0), r: 2, cao: 4),
    cam: chieu-oxyz(k: 0.7, goc: 30deg))
})

Phép thử che khuất là GIẢI TÍCH (giao tia với mặt đáy là bậc nhất, với mặt bên là bậc hai), KHÔNG quét mẫu — nên không bỏ sót nét khuất dù dây cung qua khối rất ngắn. Sai số duy nhất còn lại nằm ở mắt lưới của đường được vẽ, chỉnh bằng n:.

GIỚI HẠN, đọc trước khi dùng: chưa có mặt cầu; đường sinh biên CỐ Ý không để chính khối của nó che (tia bắn từ đúng đường biên là tiếp tuyến, xét ở đó sẽ chập chờn làm nét biên lúc liền lúc đứt).

Engine đa diện tổng quát, mặt phẳng Oxyz & thiết diện (07/2026)

lib/da-dien.typ — nhập DANH SÁCH ĐỈNH 3D + DANH SÁCH MẶT là vẽ được bất kì khối đa diện LỒI: tự chiếu, tự phân biệt mặt trước / mặt sau, tự vẽ nét liền và nét khuất, tự tô mặt theo độ sâu. Thứ tự đỉnh trong mỗi mặt KHÔNG cần theo chiều nào (pháp tuyến được lật ra ngoài theo tâm khối).

// khối dựng sẵn — bung bằng toán tử `..` (trả (dinh:, mat:, ten:))
#da-dien(..khoi-chop-deu(n: 4, R: 1.9, cao: 3.6), to: blue.lighten(86%))
#da-dien(..khoi-lang-tru-deu(n: 6, R: 1.8, cao: 3.4))
#da-dien(..khoi-chop-cut-deu(n: 4, R: 2, r: 1.1, cao: 3))
#da-dien(..khoi-hop-chu-nhat(dai: 4, rong: 2.6, cao: 3))
#da-dien(..khoi-lap-phuong(a: 3))
#da-dien(..khoi-tu-dien-deu(a: 3))
#da-dien(..khoi-bat-dien-deu(a: 3))
#da-dien(..khoi-hop((0,0,0), (3,0,0), (0.6,2.2,0), (0.9,0.4,2.8)))  // hộp lệch
#da-dien(..khoi-chop(day, S))            // đáy = mảng điểm 3D bất kì
#da-dien(..khoi-lang-tru(day, v))        // đáy tịnh tiến theo vectơ v
#da-dien(..khoi-chop-cut(day, day-tren)) // hai đáy cùng số đỉnh

// tự khai đỉnh + mặt (mỗi mặt là mảng CHỈ SỐ đỉnh)
#da-dien(
  dinh: ((0,0,0), (3.2,0,0), (0,3,0), (0,0,3)),
  mat: ((0,1,2), (0,1,3), (0,2,3), (1,2,3)),
  ten: ($O$, $A$, $B$, $C$), to: blue.lighten(88%),
)

Tham số của da-dien / ve-da-dien: ten (mảng nhãn theo thứ tự đỉnh), huong (auto = tự đặt nhãn vào KHE GÓC RỘNG NHẤT giữa các cạnh nên không đè lên nét), to (màu tô các mặt trước), to-mat (mảng màu riêng từng mặt, auto = theo to), hien-khuat: false (bỏ nét khuất, ẩn luôn đỉnh chỉ thuộc mặt sau), mau-khuat / day-khuat, hien-dinh, bk, w, le, them: (ctx, p) => ... (p chiếu (x, y, z) → điểm 2D, dùng được với MỌI hàm vẽ phẳng). Bản ve-da-dien(ctx, ...) vẽ vào khung có sẵn, da-dien(...) tự tạo khung.

Camera — cam: nhận một trong:

cam: chieu-xien(goc: 40deg, k: 0.5)              // mặc định, khớp hình dựng sẵn
cam: chieu-truc-giao(ngang: 65deg, cao: 22deg)   // camera Euler thật
cam: chieu-oxyz(k: 0.55, goc: 35deg)             // khớp hệ trục #oxyz
cam: P => (P.at(1), P.at(2))                     // hoặc hàm chiếu tuỳ ý

Hướng nhìn (để biết mặt nào là mặt trước) được SUY RA từ ma trận chiếu, nên hàm chiếu tuỳ ý cũng phân biệt nét khuất đúng.

Mặt phẳng trong Oxyz — gọi trong oxyz(them: (ctx, t3) => ...); phần trục toạ độ nằm SAU mặt phẳng TỰ vẽ đứt:

#oxyz(x: 5, y: 6, z: 5, them: (ctx, t3) => {
  // x/4 + y/5 + z/3.5 = 1, cắt ba trục tại A(4,0,0), B(0,5,0), C(0,0,3.5)
  mat-phang-oxyz(ctx, t3, 4, 5, 3.5, ten-dinh: true, ten: $(P)$)
  // mặt phẳng lơ lửng: tâm + hai nửa-vectơ (4 đỉnh = tam ± u ± v)
  mat-phang-bh(ctx, t3, (2.2, 2.8, 2.6), (2.4, 0, 0), (0, 2.6, 0),
    ten: $(alpha)$, truc: ((0, 5), (0, 6), (0, 5)))
})

truc: khai phạm vi ba trục để xử lí nét đứt (auto của mat-phang-oxyz = từ gốc tới mốc cắt trục; none = không xử lí).

Thiết diện khối lồi:

#let ch = khoi-chop-deu(n: 4, R: 1.9, cao: 3.6)
#da-dien-thiet-dien(..ch, mp: mp-qua-3-diem(A, M, N), td: (mau: red))
// mặt phẳng: mp-qua-3-diem(A, B, C) · mp-qua-phap(P, n) · mp-cat-truc(a, b, c)
//            mp-song-song(mp, P)
// thiet-dien(dinh, mat, mp) TRẢ VỀ mảng điểm 3D đã sắp theo VÒNG
// ve-thiet-dien(ctx, dinh:, mat:, mp:) vẽ vào khung có sẵn

Cạnh thiết diện nằm trên mặt THẤY vẽ liền, nằm trên mặt KHUẤT vẽ đứt. Mặt phẳng đi qua đỉnh của khối vẫn xử lí đúng.

Vectơ 3D để dựng điểm: v3-cong, v3-tru, v3-nhan, v3-vo-huong, v3-co-huong, v3-dai, v3-chuan, trung-diem-3d(A, B), chia-3d(A, B, t), tam-3d(ds), day-deu(n, R, z: 0), phap-da-giac(ds), phan-tich-khoi(dinh, mat).

Điểm phụ và đoạn phụ trong khối — diem: và duong: (có ở cả da-dien, ve-da-dien và da-dien-thiet-dien):

#let cd = khoi-chop-deu(n: 4, R: 1.9, cao: 3.6)
#let (A, B, C, D, S) = cd.dinh
#let O = tam-3d((A, B, C, D))              // tâm đáy
#let M = trung-diem-3d(S, B)               // trung điểm SB
#let N = diem-canh(cd.dinh, 2, 4, t: 0.6)  // trên cạnh nối đỉnh #2 với #4
#let H = hinh-chieu-3d(A, S, C)            // chân đường vuông góc từ A xuống SC

#da-dien(
  ..cd, to: blue.lighten(92%),
  diem: ((O, $O$), (M, $M$), (N, $N$), (H, $H$, auto, red)),
  duong: (
    (S, O, (mau: red, vuong: A, ten: $h$, tai: 0.22, huong: "right")),
    (A, H, (mau: red)),
    (A, M),
  ),
)

Mỗi mục của diem: là P · (P, ten) · (P, ten, huong) · (P, ten, huong, mau). Điểm nằm trên một cạnh của khối thì nhãn TỰ đặt vuông góc với cạnh đó (đúng lối sách); điểm khác thì nhãn toả ra xa tâm hình chiếu.

Mỗi mục của duong: là (A, B) hoặc (A, B, tuỳ-chọn), tuỳ-chọn là dict nhận mau, day, ten, tai, huong, cach, dut (ép kiểu nét), hien-khuat, mau-khuat, day-khuat, vuong (một điểm $C$ — vẽ ký hiệu góc vuông tại $B$, giữa $BA$ và $BC$) và r (cỡ ký hiệu). Phần đoạn bị khối che tự vẽ đứt, phần thấy vẽ liền — một đoạn có thể vừa liền vừa đứt (đường cao $SO$ thấy ở ngoài rồi chui vào trong khối). Phép kiểm là CHÍNH XÁC, không quét mẫu: xét tia từ điểm về phía người nhìn có cắt khối lồi hay không.

Với hien-khuat: false, điểm bị khối che, ký hiệu góc vuông và nhãn nằm ở chỗ bị che đều được ẩn theo.

Tiện ích dựng điểm: diem-canh(dinh, i, j, t: 0.5) (chia cạnh nối hai đỉnh), hinh-chieu-3d(P, A, B) (chân đường vuông góc hạ xuống đường thẳng $AB$), hinh-chieu-mp(P, mp) (hình chiếu lên mặt phẳng), tam-3d(ds) (tâm của mảng điểm — dùng lấy tâm đáy).

GIỚI HẠN: quy tắc nét khuất chỉ đúng với khối LỒI (đủ cho toàn bộ THPT). Khối KHÔNG lồi, hai khối che nhau, hoặc mặt cong (cầu/trụ/nón) thì dùng các hàm cũ trong hinh-khong-gian.typ. File thử: thu-da-dien.typ.

Tính toán trong không gian Oxyz (`lib/oxyz-toan.typ`) (07/2026)

Nhóm hàm tính (không vẽ): mọi hàm trả về giá trị (số, điểm, dict) hoặc nội dung toán đã định dạng (nhóm pt-* và hien-*), gọi thẳng, không cần ctx.

Kiểu dữ liệu dùng chung:

Đối tượng	Cách viết
điểm / vectơ	`(x, y, z)`
mặt phẳng	`(a: , b: , c: , d: )` ⇔ `ax + by + cz + d = 0`
đường thẳng	`(P: điểm đi qua, u: vectơ chỉ phương)`
mặt cầu	`(I: tâm, R: bán kính)`

Các hàm nhận mặt phẳng cũng nhận luôn dạng (n: , d: ) của da-dien.typ (mp-qua-3-diem, mp-cat-truc…), nên hai nhóm dùng lẫn được.

Vectơ

#let A = (1, 2, -1)
#let B = (2, -1, 3)
#let C = (-4, 7, 5)

vecto-3d(A, B)                     // toạ độ AB = B − A  →  (1, -3, 4)
do-dai-vecto(vecto-3d(A, B))       // độ dài (số thực)
tich-vo-huong(u, v)                // u · v
tich-co-huong(u, v)                // [u, v]
tich-hon-tap(u, v, w)              // [u, v] · w  (định thức cấp ba)
cos-goc-vecto(u, v)  ·  goc-vecto(u, v)      // số thực · kiểu angle
cung-phuong(u, v) · vuong-goc(u, v) · dong-phang(u, v, w)   // true/false

Các phép cộng/trừ/nhân số có sẵn từ da-dien.typ: v3-cong, v3-tru, v3-nhan, v3-chuan, v3-dai.

Điểm — khoảng cách, điểm đặc biệt của tam giác

khoang-cach-3d(A, B)               // = do-dai-doan-3d(A, B)
trung-diem-3d(A, B)  ·  chia-3d(A, B, t)
trong-tam-3d(A, B, C)              // nhận số điểm tuỳ ý
truc-tam-3d(A, B, C)               // hệ thức Euler H = A + B + C − 2O
tam-ngoai-tiep-3d(A, B, C)  ·  ban-kinh-ngoai-tiep-3d(A, B, C)
tam-noi-tiep-3d(A, B, C)    ·  ban-kinh-noi-tiep-3d(A, B, C)
tam-bang-tiep-3d(A, B, C)          // bàng tiếp TRONG GÓC A

Diện tích — thể tích

dien-tich-tam-giac-3d(A, B, C)   dien-tich-hbh-3d(A, B, C)
the-tich-tu-dien(A, B, C, D)     the-tich-hinh-hop(A, B, C, D)
bon-diem-dong-phang(A, B, C, D)

Mặt phẳng

mat-phang-qua-phap(A, (2, -3, 1))      // qua 1 điểm + 1 vectơ pháp tuyến
mat-phang-qua-3-diem(A, B, C)
mat-phang-doan-chan(p, q, r)           // x/p + y/q + z/r = 1
mat-phang-trung-truc(A, B)
mat-phang-song-song(mp, A)             // qua A, song song mp
mat-phang-vuong-goc-duong(A, d)        // qua A, vuông góc đường thẳng d
mat-phang-qua-2-phuong(A, u, v)

#pt-mat-phang(mat-phang-qua-3-diem(A, B, C))   // $19x + 13y + 5z − 40 = 0$

Hệ số tự rút gọn về nguyên tố cùng nhau, hệ số khác 0 đầu tiên mang dấu dương. Đổi tên ẩn: pt-mat-phang(P, an: ("X", "Y", "Z")).

phap-tuyen-mp(P)                  the-vao-mp(A, P)        // ax₀+by₀+cz₀+d
khoang-cach-diem-mp(A, P)         goc-2-mp(P, Q)
hinh-chieu-len-mp(A, P)           doi-xung-qua-mp(A, P)
vi-tri-2-mp(P, Q)                 // "trùng nhau" | "song song" | "cắt nhau"

Đường thẳng

#let d1 = duong-thang-qua-2-diem(A, B)
#let d2 = duong-thang-qua-vtcp((1, 2, 3), (2, 0, -1))
duong-thang-vuong-goc-mp(A, P)

#pt-tham-so(d1)      // hệ cases(x = …, y = …, z = …), đổi tham số: t: "k"
#pt-chinh-tac(d1)    // thành phần chỉ phương bằng 0 tự tách ra sau dấu phẩy

khoang-cach-diem-duong(A, d)      khoang-cach-2-duong(d1, d2)
hinh-chieu-len-duong(A, d)        doi-xung-qua-duong(A, d)
goc-2-duong(d1, d2)               goc-duong-mp(d, P)
vi-tri-2-duong(d1, d2)   // "trùng nhau" | "song song" | "cắt nhau" | "chéo nhau"
giao-2-duong(d1, d2)     giao-duong-mp(d, P)     giao-2-mp(P, Q)   // none nếu không có
vtcp-dep(u)              // rút gọn vectơ chỉ phương về nguyên, dấu đầu dương

Mặt cầu

#let S = mat-cau((1, -2, 3), 5)
mat-cau-duong-kinh(A, B)      mat-cau-tam-tiep-xuc-mp(I, P)
mat-cau-qua-4-diem(A, B, C, D)          // đồng phẳng → none

#pt-mat-cau(S)                 // $(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 25$
#pt-mat-cau-khai-trien(S)      // $x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 11 = 0$

vi-tri-mp-mat-cau(P, S)        // "cắt nhau" | "tiếp xúc" | "không cắt"
duong-tron-giao(P, S)          // (I: tâm, R: bán kính) đường tròn giao tuyến

Hiển thị — chính xác hay gần đúng

#hien-diem(A, ten: "A")            // $A(1; 2; −1)$
#hien-vecto(u, ten: "AB")          // $arrow(A B) = (1; −3; 4)$
#hien-so(v)                        // nguyên / phân số CHÍNH XÁC, nếu không thì thập phân
#hien-gan-dung(v, chu-so: 2)       // giá trị gần đúng
#hien-goc(goc-2-mp(P, Q))          // 77.7°
#hien-can(4030)                    // căn thức đã rút thừa số chính phương

Các đại lượng chứa căn có bản chính xác riêng (không làm tròn): hien-do-dai(u), hien-khoang-cach(A, B), hien-cos-goc(u, v), hien-khoang-cach-diem-mp(A, P), hien-khoang-cach-diem-duong(A, d), hien-khoang-cach-2-duong(d1, d2), hien-dien-tich-tam-giac(A, B, C), hien-dien-tich-hbh(A, B, C), hien-the-tich-tu-dien(A, B, C, D).

hien-so chỉ nhận dạng số nguyên và phân số nên luôn đúng; muốn ra căn thức thì dùng đúng hàm hien-* ở trên. (so-toan của do-thi.typ có đoán thêm dạng căn nên với số vô tỉ bất kì có thể ra một dạng “đẹp” mà sai.)

Tính xong thì vẽ

#oxyz(w: 8cm, x: 4.4, y: 5.4, z: 4.4, them: (ctx, t3) => {
  let Q = mat-phang-qua-phap((1, 1.2, 1.4), (1, 1, 1))
  let (T, u, v) = khung-mp(Q, tam: (1, 1.2, 1.4), r: 2.5)  // khung để vẽ
  mat-phang-bh(ctx, t3, T, u, v, ten: $(alpha)$)
  let H = hinh-chieu-len-mp((0, 0, 0), Q)
  doan-oxyz(ctx, t3, (0, 0, 0), H, mau: red, dut: true)
})

khung-mp(mp, tam: auto, r: 2) trả (tâm, u, v) để đưa thẳng vào mat-phang-bh; mp-de-ve(mp) đổi mặt phẳng sang dạng (n: , d: ) của da-dien.typ. Mặt phẳng dạng đoạn chắn vẽ bằng mat-phang-oxyz(ctx, t3, p, q, r).

File thử: thu-oxyz.typ.

How to add

Copy this into your project and use the import as conic-toan

#import "@preview/conic-toan:0.3.3"

Check the docs for more information on how to import packages.

About

Author:

Kim Thu

License:

MIT

Current version:

0.3.3

Last updated:

August 13, 2026

First released:

July 29, 2026

Minimum Typst version:

0.13.0

Archive size:

195 kB

Repository:

GitHub

Disciplines:

Categories:

Explore more packages by Kim Thu

Where to report issues?

This package is a project of Kim Thu. Report issues on their repository. You can also try to ask for help with this package on the Forum.

Please report this package to the Typst team using the contact form if you believe it is a safety hazard or infringes upon your rights.

Version history

Version	Release Date
0.3.4	August 18, 2026
0.3.3	August 13, 2026
0.3.2	August 7, 2026
0.3.1	July 30, 2026
0.3.0	July 29, 2026

Typst GmbH did not create this package and cannot guarantee correct functionality of this package or compatibility with any version of the Typst compiler or app.

conic-toan